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Bonjour,

En analysant un peu les normes premiers, il me vient quelques interrogations. Si vous avez vos réponses, elles me seront sans doute bien utiles.

Pourquoi 1 n’est-il pas considéré comme nombre premier, comme 2 et 3 par exemple ?

Pourquoi valide-t-on la multiplication, mais non la division, par 0 ? La division par 0 ne pourrait-elle pas donner aussi 0 ? Ou sinon, la multiplication par 0 ne pourrait-elle pas donner la multiplication « Ensemble vide, Non défini » ? Est-ce la même chose dans d’autres civilisations ayant pratiqué les maths depuis des millénaires (Chine, Inde) ?
Pourquoi valide-t-on la multiplication et la division par 1 ?

Merci à tous !

Bonjour.

Emmanuel Dessane wrote:Pourquoi 1 n’est-il pas considéré comme nombre premier, comme 2 et 3 par exemple ?

C'est une simple question de choix de définition.

Un nombre premier est un nombre qui admet très exactement 2 diviseurs distincts : 1 et lui-même.

2 est un nombre premier car il admet 2 diviseurs : 1 et 2.
3 est un nombre premier car il admet 2 diviseurs : 1 et 3.

1 n'est pas un nombre premier car il n'admet qu'1 seul diviseur : 1.

Bonjour,

Oui, c'est ça, une question de définition, c'est un peu regrettable, bon mais c'est leur déf...

En tout cas, j'espère bien trouver des réponses à la suite un jour !

merci

Bonjour,

J'ai corrigé la 2° ligne du dernier § de ma question, pour préciser.

Emmanuel Dessane wrote:Bonjour,

Oui, c'est ça, une question de définition, c'est un peu regrettable, bon mais c'est leur déf...

En tout cas, j'espère bien trouver des réponses à la suite un jour !

merci

Il y a une autre raison : l'unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers.

Les nombres entiers naturels admettent une décomposition en produit de facteurs premiers, c'est-à-dire qu'on peut les écrire sous la forme d'une multiplication ne comportant que des nombres premiers. Par exemple, 42=6×7=2×3×7. Dans la décomposition 2×3×7 il n'y a que des nombres premiers.

Si on considère que 1 est premier, alors on pourrait également proposer la décomposition 42=1×2×3×7 ou encore 42=1×1×2×3×7 ou encore 42=1×1×1×2×3×7 et ainsi de suite et on aurait alors une infinité de décompositions possibles.
Pour avoir l'unicité de cette décomposition en produit de facteurs premiers (c'est-à-dire qu'il n'y a qu'une décomposition possible, si l'on ordonne les facteurs premiers dans l'ordre croissant), on a établi que 1 n'était pas premier.

La définition d'un nombre premier étant alors "un nombre entier positif qui admet exactement 2 diviseurs positifs" et non pas "un nombre entier positif qui admet au plus 2 diviseurs positifs". Mais ça aurait pu être ça, c'est une question de choix.

Emmanuel Dessane wrote:Pourquoi valide-t-on la multiplication, mais non la division, par 0 ? La division par 0 ne pourrait-elle pas donner aussi 0 ? Ou sinon, la multiplication par 0 ne pourrait-elle pas donner la multiplication « Ensemble vide, Non défini » ? Est-ce la même chose dans d’autres civilisations ayant pratiqué les maths depuis des millénaires (Chine, Inde) ?
Pourquoi valide-t-on la multiplication et la division par 1 ?

Merci à tous !

La division par 0, c'est une autre histoire.

Je commence par un exemple : diviser un gâteau en 7 parts (de même taille), c'est répartir le gâteau entre 7 personnes de manière à ce que chacune des 7 personnes aient exactement la même quantité de gâteau et que la somme des 7 parts donne exactement un gâteau entier.

Dans le même esprit, si on divise le gâteau en 1 part, ça revient à répartir le gâteau entre 1 personne de manière à ce que les(la) 1 personne ait la même quantité de gâteau que... euh bah elle est toute seule... et que la somme des (de la) 1 part donne exactement un gâteau entier. Ici, la solution est simple : il suffit de donner le gâteau entier à une seule personne. Donc la division par 1 ne pose pas de problème.

Maintenant, voyons ce qu'il se passe avec la division par 0 : diviser un gâteau en 0 part, c'est répartir le gâteau entre 0 personne (ok, on n'en donne à personne), de manière à ce que chacune des 0 personne ait la même quantité de gâteau (euh, jusque-là ça va) et que la somme des(de la) 0 part donne exactement un gâteau entier. C'est sur cette dernière condition que ça coince ! 0 part ne peut pas donner le gâteau entier !

merci pour ces 2 réponses instructives !
Mais une interrogation subsiste pour la 2° réponse : peut-on multiplier un gâteau par 0 ? On peut certes le détruire. Je crois qu'on peut peut exécuter 5x0 et obtenir 0, c'est absurde aussi. On pourrait d'ailleurs en ce cas le détruire en le divisant par 0.
Qu'en pensez-vous ?

Pour la 1° réponse, donc c'est bien que 1 peut être premier, mais qu'on l'exclue pour des raisons de calcul ?
Je précise aussi : les arbres ont 1 tronc, puis 2 branches, puis 3, 5, 7, 13, 17 etc. Les coquillages 1 trou, une circonvolution, 2, 3 etc