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CÁLCULO VETORIAL 1001


Outra aplicação de integrais de superfície ocorre no estudo de fluxo de calor. Suponha
que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z). Então, o fluxo de calor
é definido como o campo vetorial
F  K u
onde K é uma constante determinada experimentalmente, chamada condutividade da subs-
tância. A taxa de transmissão de calor através da superfície S no corpo é então dada pela inte-
gral de superfície
yy F ⴢ dS 苷 K yy ∇u ⴢ dS
S S


EXEMPLO 6 A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da distância
do centro da bola. Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a
e centro no centro da bola.
SOLUÇÃO Tomando o centro da bola como origem, temos
u(x, y, z)  C(x2  y2  z2)
onde C é a constante de proporcionalidade. Então o fluxo de calor é
F(x, y, z)  K u  KC(2x i  2y j  2z k)
onde K é a condutividade do metal. Em vez de usar a parametrização usual da esfera dada
no Exemplo 4, observamos que o vetor normal à esfera x2  y2  z2  a2 que aponta para fora
no ponto (x, y, z) é
1
n 苷 共x i  y j  z k兲
a
2KC 2
e assim Fⴢn苷 共x  y 2  z 2 兲
a
Mas, sobre S temos x2  y2  z2  a2, então F  n  2aKC. Portanto, a taxa de transmis-
são de calor através de S é

yy F ⴢ dS 苷 yy F ⴢ n dS 苷 2aKC yy dS
S S S

苷 2aKCA共S兲 苷 2aKC共4
a 2 兲 苷 8KC
a 3


16.7 Exercícios
1. Seja S a superfície que é fronteira da caixa delimitada pelos pla- 5–20 Calcule a integral de superfície.
nos x  0, x  2, y  0, y  4, z  0 e z  6. Aproxime
hhS e 0,1(xyz) dS usando uma soma de Riemann, como na Defi- 5. xxS (x  y  z) dS,
nição 1, tomando os retalhos Sij como os retângulos que são as S é o paralelogramo com equações paramétricas x  u  v,
faces da caixa S e os pontos Pij* como os centros destes retângulos. y  u  v, z  1  2u  v, 0  u  2, 0  v  1

2. Uma superfície S é formada pelo cilindro x2  y2  1, 6. xxS xyz dS,
1  z  1, e por círculos no fundo e no topo Suponha que S é o cone com equações paramétricas x  u cos v,
você saiba que f é uma função contínua com y  u sen v, z  u, 0  u  1, 0  v  p/2

f (1, 0, 0)  2MMf (0, 1, 0)  3MMf (0, 0, 1)  4 7. xxS y dS, S é o helicoide com equação vetorial
Estime o valor de hhS f (x, y, z) dS usando a soma de Riemann, r(u, v)  ku cos v, u sen v, vl, 0  u  1, 0  v  p
tomando como retalhos Sij os círculos do fundo e do topo e a la- 8. xxS (x2  y2) dS,
teral dividida em quatro partes. S é o superfície com equação vetorial
3. Seja H o hemisfério x2  y2  z2  50, z  0, e suponha que f r(u, v)  k2uv, u2  v2, u2  v2l, u2  v2  1
seja uma função contínua com f (3, 4, 5)  7, f (3, 4, 5)  8, 9. xxS x2yz dS,
f (3, 4, 5)  9 e f (3, 4, 5)  12. Ao dividir H em quatro S é a parte do plano z  1  2x  3y que está acima do retân-
partes, estime o valor de hhH f (x, y, z) dS. gulo [0, 3]  [0, 2]
4. Suponha que f 共x, y, z兲 苷 t(sx 2  y 2  z 2 ), onde t é uma 10. xxS xz dS,
função de uma variável tal que t(2)  5. Calcule xxS f (x, y, z) S é a parte do plano 2x  2y  z  4 que está no primeiro oc-
dS, onde S é a esfera x2  y2  z2  4. tante

SCA É necessário usar um sistema de computação algébrica 1. As Homework Hints estão disponíveis em www.stewartcalculus.com
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1002 CÁLCULO



11. xxS x dS, 28. F(x, y, z)  xy i  4x2 j  yz k,
S é a região triangular com vértices (1, 0, 0), (0, 2, 0) S é a superfície z  xey, 0  x  1, 0  y  1,
e (0, 0, 4) com orientação ascendente

12. xxS y dS, 29. F(x, y, z)  x i  2y j  3z k,
2
S é a superfície z  3 (x3/2  y3/2), 0  x  1, 0  y  1 S é o cubo com vértices (1, 1, 1)

13. xxS x2 z2 dS, 30. F(x, y, z)  x i  y j  5 k,
S é a parte do cone z2  x2  y 2 que está entre os planos z  1 S é o limite da região delimitada pelo cilindro x2  z2  1 e
ez3 pelos planos y  0 e x  y  2

14. xxS z dS, 31. F(x, y, z)  x2 i  y2 j  z2 k,
S é a superfície x  y  2z2, 0  y  1, 0  z  1 S é o limite do semicilindro sólido 0  z  s1  y2, 0  x  2

15. xxS y dS, 32. F(x, y, z)  y i  (z  y) j  x k,
S é a parte do paraboloide y  x2  z2 que está dentro do S é a superfície do tetraedro com vértices (0, 0, 0), (1, 0, 0),
cilindro x2  z2  4 (0, 1, 0) e (0, 0, 1)

16. xxS y2 dS, SCA 33. Calcule hhS (x2  y2  z2) dS com precisão de quatro casas deci-
S é a parte da esfera x2  y2  z2  4 que está dentro do mais, quando S é a superfície z  xey, 0  x  1, 0  y  1
cilindro x2  y2  1 e acima do plano xy
SCA 34. Determine o valor exato de hhS x2 yz dS, onde S é a superfície
17. xxS (x z  y z) dS,
2 2 z  xy, 0  x  1, 0  y  1
S é o hemisfério x2  y2  z2  4, z  0
SCA 35. Determine o valor de hhS x2y2z2 dS correto até a quarta casa deci-
18. xxS xz dS, mal, onde S é a parte do paraboloide z  3  2x2  y2 que está
S é o limite da região delimitada pelo cilindro y2  z2  9 e acima do plano xy.
pelos planos x  0 e x  y  5
SCA 36. Determine o fluxo de
19. xxS (z  x y) dS,
2
F(x, y, z)  sen(xyz) i  x2y j  z2ex/5 k
S é a parte do cilindro y  z  1 que está entre os planos
2 2
através da parte do cilindro 4y2  z2  4 que está acima do plano
x  0 e x  3 no primeiro octante xy e entre os planos x  2 e x  2 com orientação ascendente.
Ilustre, usando um sistema de computação algébrica para dese-
20. xxS (x2  y2  z2) dS, nhar o cilindro e o campo vetorial na mesma tela.
S é a parte do cilindro x2  y2  9 entre os planos z  0 e
z  2, juntamente com os discos inferior e superior 37. Determine uma fórmula para xxS F ⴢ dS semelhante à Fórmula
10 para o caso onde S é dada por y  h(x, z) e n é o vetor nor-
21–32 Avalie a integral de superfície hhS F  dS para o campo veto-
mal unitário que aponta para a esquerda.
rial dado F e a superfície orientada S. Em outras palavras, localize o
fluxo de F através de S. Para superfícies fechadas, use a or...