8. Applications Linéaires
8.1. Applications linéaires
Définition : f : E → F, avec E et F deux espaces vectoriels sur Š est linéaire, ou est un morphisme, ou
 ∀u, v ∈ E

encore un homomorphisme ⇔  f (λ.u + µ.v) = λ.f (u) + µ.f (v)

 ∀λ, µ ∈ Š


f : E → E, linéaire est un endomorphisme
f : E → F, linéaire bijective est un isomorphisme
f : E → E, linéaire bijective est un automorphisme
f : E → Š, linéaire est une forme linéaire. Š est un espace vectoriel sur lui-même.



Théorème : L (E, F) et L (E) sont des espaces vectoriels sur Š.
Si E et F sont de dimension finies n et p, la dimension de L (E, F) est n × p et celle de L (E) est n2


8.2. Sous espace vectoriel stable par un endomorphisme
Définition : Soit F un sous espace vectoriel de E et f un endomorphisme de E.
On dit que F est stable par f ⇔ ∀u ∈ F, f (u) ∈ F.


8.3. Image et noyau
Définition : Le noyau de f , linéaire, est : ker(f ) = {u ∈ E, f (u) = 0}.

Définition : L’image de f , linéaire, est : Im(f ) = {v ∈ f , ∃ u ∈ E, v = f (u)}.


L’image d’un s.e.v de E 
par f : E → F, linéaire, est un sous-espace vectoriel de F.

Théorème :

L’image de E 



Théorème :
L’image réciproque d’un s.e.v de F par f : E → F, linéaire, est un sous-espace vectoriel de E.

Théorème : Le noyau de f : E → F, linéaire, est un sous-espace vectoriel de E.

Théorème : f : E → F, linéaire, est injective ⇔ ker(f ) = {0}

En dimension finie, des bases étant choisies,
• on recherche le noyau en résolvant un système linéaire sans second membre, la dimen-
sion du noyau est la dimension de l’espace de départ moins le rang du système, c’est
aussi le nombre d’inconnues auxiliaires. On obtient une base du noyau en distribuant
tour à tour un 1 et des 0 sur les inconnues auxiliaires ;
• on recherche l’image en écrivant que les images des vecteurs de la base forment une
famille génératrice de l’image, puis en ôtant les vecteurs inutiles de cette famille. La
dimension de l’image est le rang de l’application linéaire, de la matrice.


Théorème : L’image d’une famille génératrice par une application linéaire est génératrice de l’image
de cette application.

18 Résumé de cours de TSI 1 et TSI 2 © Christophe Caignaert – Lycée Colbert 59200 Tourcoing – http://c.caignaert.free.fr
8.4. Projecteur
Définition : p : E → E est un projecteur ⇔ p ◦ p = p

Théorème : p : E → E est un projecteur ⇒ E = Im(p) ⊕ Ker(p),
mais ceci n’est pas une équivalence.

E = E1 ⊕ E2 permet de définir p la projection sur E1 , parallèlement à E2 et q la projection sur
E2 , parallèlement à E1 .
On a alors p + q = Id.


8.5. Symétries
Définition : s : E → E est une symétrie ⇔ s ◦ s = Id

s + Id
Théorème : s est une symétrie ⇔ p = est un projecteur.
2
Théorème : p est un projecteur ⇔ s = 2p − Id est une symétrie.

8.6. Théorème du rang
Définition : f : E → F, linéaire, avec E de dimension finie,
le rang de f est rg (f ) = dim(f (E)) = dim(Im(f )).

Théorème : f : E → F, linéaire, avec E de dimension finie
⇒ dim(E) = dim(ker(f )) + rg (f )

Théorème : dim(L(E, F)) = dim(E) × dim(F)
et dim(L(E)) = dim(E)2

Théorème :
Si dim(E) = dim(F), et donc en particulier dans le cas d’un endomorphisme en dimension finie,

 f bijective




⇔ ker(f ) = {0}






⇔ Im (f ) = F





on a : 

⇔ f injective



⇔ f surjective






⇔ f transforme une base de E en une base de F






⇔ f transforme toute base de E en une base de F




8.7. Système linéaire
Pour résoudre un système linéaire de n équations à p inconnues :
• On rend le système trapézoïdal en appliquant la méthode du pivot de Gauss
• S’il y a des paramètres, on ne discute que lorsqu’on y est obligé pour appliquer le pivot de Gauss,
au besoin en changeant l’ordre des lignes ou des colonnes.
◦ On connait à ce moment le rang du système : c’est le nombre d’équations linéaires indépen-
dantes. Si le système est sans second membre, l’ensemble des solutions est un espace vectoriel
de dimension le nombre d’inconnues moins le rang.
◦ On voit à ce moment si le système est incompatible.
◦ S’il est compatible, le rang du système est le nombre d’équations restantes
 Si on a, à ce moment, autant d’équations que d’inconnues : le système a une solution
unique

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