exponentielle
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Catégories :Categories: Cours et Formulaires TI-82+/83+/84, Cours et Formulaires TI-76/82Stats/83, Cours et Formulaires TI-82
Auteur Author: Ber2
Type : Texte nécessitant un lecteur
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Taille Size: 1.28 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 24/04/2013 - 22:34:08
Mis à jour Updated: 24/04/2013 - 22:37:00
Uploadeur Uploader: Ber2 (Profil)
Téléchargements Downloads: 470
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a13329
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Description
Fichier TxtView généré sur TI-Planet.org.
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
<<
Loi exponentielle :
La loi exponentielle de parametre L
a pour densité la fonction
V t >= 0 , f(t) = L e(-Lt)
Rappel :
P(X<a) = /(0a) L e(-Lt) dt = [-e(-Lt)](0a) = ? = 1-e(-Lt)
P(X>a) = 1 - P(X<a) = e(-Lt)
Loi sans vieillissement :
V t et h positifs :
P( T >= t + h) sachant ( T >= t) = P(T >= h)
Esperance : E(T) = 1/L
Demonstration ROC de l'esperance :
V t >= 0 , on pose F(t) = (mt+n)e(-Lt)
determiner la valeur de m et n
afin que F soit une primitive de de la fonction
f(t) = tL e(-Lt) V t >= 0
On cherche m et n tels que
V t >= 0 , F'(t) = y(t)
or V t >=0
F ' (t) = m e(-Lt) + (mt+n) x (-L e(-Lt))
F ' ( t) = (m-Lmt - Ln) e(-Lt)
V t >=0 F'(t) = g(t)
<=> (m - Lmt - Ln) e(-Lt) = t L e(-Lt)
<=> m - Lmt - Ln = t L
car Vt>=0 : e(-Lt) > 0
Par identification :
-Lm = L
m - Ln = 0
et comme L > 0 ,
on a (-m) = 1 <=> m = -1
ainsi :
-1 - Ln = 0 <=> n = -1/L
Donc : V t >= 0 ,
F(t) = (-t - 1/L) e(-Lt)
Par conséquent : Soit a > 0 ,
/(0a) t L e(-Lt) dt = [F(t)](0a) = F(a) - F(0)
= (-a - 1/L) e(-La) + 1/L
= -a e(-La) - 1/L e(-La) + 1/L
lim a+ a e(-La) = 0 car L > 0
lim a+ 1/L e(-La) = 0
Conclusion :
E(T) = lim a+ /(0a) t L e(-Lt) dt = 1/L
>>
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
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Loi exponentielle :
La loi exponentielle de parametre L
a pour densité la fonction
V t >= 0 , f(t) = L e(-Lt)
Rappel :
P(X<a) = /(0a) L e(-Lt) dt = [-e(-Lt)](0a) = ? = 1-e(-Lt)
P(X>a) = 1 - P(X<a) = e(-Lt)
Loi sans vieillissement :
V t et h positifs :
P( T >= t + h) sachant ( T >= t) = P(T >= h)
Esperance : E(T) = 1/L
Demonstration ROC de l'esperance :
V t >= 0 , on pose F(t) = (mt+n)e(-Lt)
determiner la valeur de m et n
afin que F soit une primitive de de la fonction
f(t) = tL e(-Lt) V t >= 0
On cherche m et n tels que
V t >= 0 , F'(t) = y(t)
or V t >=0
F ' (t) = m e(-Lt) + (mt+n) x (-L e(-Lt))
F ' ( t) = (m-Lmt - Ln) e(-Lt)
V t >=0 F'(t) = g(t)
<=> (m - Lmt - Ln) e(-Lt) = t L e(-Lt)
<=> m - Lmt - Ln = t L
car Vt>=0 : e(-Lt) > 0
Par identification :
-Lm = L
m - Ln = 0
et comme L > 0 ,
on a (-m) = 1 <=> m = -1
ainsi :
-1 - Ln = 0 <=> n = -1/L
Donc : V t >= 0 ,
F(t) = (-t - 1/L) e(-Lt)
Par conséquent : Soit a > 0 ,
/(0a) t L e(-Lt) dt = [F(t)](0a) = F(a) - F(0)
= (-a - 1/L) e(-La) + 1/L
= -a e(-La) - 1/L e(-La) + 1/L
lim a+ a e(-La) = 0 car L > 0
lim a+ 1/L e(-La) = 0
Conclusion :
E(T) = lim a+ /(0a) t L e(-Lt) dt = 1/L
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