Christophe Bertault — Mathématiques en MPSI




MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES
Dans tout ce chapitre, K est l’un des ensembles R ou C et les lettres n, p, q. . . désignent des entiers naturels non nuls.




1 MATRICES ET OPÉRATIONS SUR LES MATRICES

1.1 MATRICES, ADDITION MATRICIELLE ET MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE

 Explication  Dans le titre de ce paragraphe, le mot « scalaire » signifie « nombre réel ou complexe ». Nous l’utili-
serons quotidiennement dans quelques temps quand nous ferons de l’algèbre linéaire.


Définition (Matrice, coefficients, lignes, colonnes, matrice nulle)
• On appelle matrice de taille n × p à coefficients dans K toute famille A de np éléments de K présentée sous la forme
 
a11 a12 · · · a1p
 a21 a22 · · · a2p 

d’un tableau : 
 .. .. .. 
, noté aussi : ai j 1¶i¶n , où ai j ∈ K pour tout (i, j) ∈ ¹1, nº× ¹1, pº.
. . . 1¶ j¶p

an1 an2 · · · anp  
a1 j
Pour tout (i, j) ∈ ¹1, nº × ¹1, pº, le scalaire ai j est appelé coefficient de A de position (i, j), la matrice  ..  est

.
appelée la j ème colonne de A et la matrice ai1 · · · ai p est appelée sa i ème ligne. an j
• L’ensemble des matrices de taille n × p à coefficients dans K est noté Mn,p (K).
— Pour n = p, on parle de matrices carrées de taille n et la notation simplifiée Mn (K) est alors préférée. La famille
(a11 , a22 , . . . , ann ) est alors appelée diagonale de A.
— Pour p = 1, on parle de matrices colonnes de taille n, et pour n = 1, de matrices lignes de taille p.
• La matrice de taille n × p dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle de Mn,p (K) et notée 0 —
ou 0n,p quand on veut être précis.


 Explication 
• Une matrice de taille n×p à coefficients dans K n’est rien de plus qu’un élément de Knp , i.e. une famille de np éléments
de K, mais qu’on a préféré écrire sous la forme d’un tableau. Ainsi, en réalité : Mn,p (K) = Knp . Pourquoi donc
introduire les matrices dans ce cas ? Parce que nous allons définir sous peu une opération de produit sur les matrices,
et vous verrez alors qu’il est bien pratique d’écrire les matrices comme des tableaux et non comme des familles.
• L’usage veut qu’on utilise le plus possible la lettre i pour indice des lignes et la lettre j pour indice des colonnes.
• Par convention dans ce cours, si A (majuscule) est une matrice de taille n × p, nous noterons généralement ai j (mi-
nuscule) le coefficient de A de position (i, j) — mais parfois aussi Ai j .
 
1 4  ‹
i 0
Exemple La matrice 2 5 est réelle de taille 3 × 2, la matrice est carrée complexe de taille 2.
2 3+i
3 6



Définition (Addition matricielle et multiplication par un scalaire) Pour tous A, B ∈ Mn,p (K) et λ, µ ∈ K, on note
λA + µB la matrice :  
λa11 + µb11 · · · λa1p + µb1p
.. ..
λA + µB =  . .
, appelée une combinaison linéaire de A et B.
λan1 + µbn1 · · · λanp + µbnp

 ‹  ‹  ‹
2 1 1 1 4 1
Exemple 3 −2 = .
0 4 −2 3 4 6




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1.2 PRODUIT MATRICIEL


 
Définition (Produit matriciel)
 b11 ··· b1r 
Pour tous A ∈ M p,q (K) et B ∈ Mq,r (K), on note A × B  
‚ q Œ  
X  . .. 
 .. . 
ou AB la matrice aik bk j de taille p × r.  
1¶i¶p  
k=1
1¶ j¶r
Produit  
bq1 ··· bqr
et somme
 
  q
X q
X
a11 ··· a1q  a1k bk1 ··· a1k bkr 
   k=1 
   k=1 
 .. ..   
   .. .. 
 . .   . . 
   
 Xq q
X 
a p1 ··· a pq  ··· 
a pk bk1 a pk bkr
k=1 k=1



   
2 1  ‹ 4 −1 5
1  1 0 1
Exemple 3 × = 7 −3 10.
2 −1 3
2 0 2 0 2


$ ATTENTION ! $
• Le produit de deux matrices en général n’est pas défini s’il n’y a pas, comme on dit, compatibilité des formats :

Matrice de taille p × q Matrice de taille q × r Matrice de taille p × r

Cas particulier remarquable, le monde Mn (K) des matrices carrées de taille n est du coup stable par produit :

Le produit de deux matrices carrées de taille n est encore une matrice carrée de taille n.


• Le produit matriciel n’est pas commutatif — même en cas de compatibilité des formats ! Exemple :
...