Séquence 4
Calcul matriciel, modèles
déterministes




Sommaire Dans cette séquence, il s’agit de pré-
senter différents modèles détermi-
1. Prérequis nistes d’évolution de population et de
montrer que l’étude de ces modèles
2. Matrices d’ordre 2 nécessite l’outil matriciel. Nous réu-
et suites récurrentes tiliserons les définitions et propriétés
obtenues dans la séquence 2 concer-
3. Synthèse nant les modèles probabilistes, mais
les matrices rencontrées ne seront
plus stochastiques. Nous aurons
donc besoin de propriétés sur des
matrices quelconques.




Séquence 4 – MA03 1


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1 Prérequis
A Calcul matriciel
1. Matrices et opérations sur les matrices
a) Généralités

Pour l’étude de cette séquence, il sera utile de bien avoir en tête les résultats
généraux concernant les matrices (définitions, opérations, puissance, inverse
d’une matrice 2 × 2).

b) Suites de matrices

Propriété 1

Soit A une matrice carrée et X 0 un vecteur colonne.
On considère la suite ( X n ) définie par X 0 et pour n ≥ 1, X n = AX n −1.
t Pour tout n de N, X n = An X 0 .
t Si la suite ( X n ) converge vers un vecteur colonne X, alors X vérifie : AX = X.


Remarque Ces résultats ont été établis dans la séquence 2 sur des suites de vecteurs lignes,
les démonstrations pour les suites de vecteurs colonnes sont identiques.
Le premier point se démontre par récurrence (voir propriété 8 de la séquence 2).
Même si cette démonstration n’est pas rappelée systématiquement dans le cours,
le jour du bac, il faudra détailler la démonstration.



B Suites
Les résultats concernant les suites et leurs limites doivent être connus pour
l’étude de cette séquence.




Séquence 4 – MA03 3


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 2 Matrices d’ordre 2
et suites récurrentes

A Objectifs du chapitre
L’évolution au cours du temps de population peut se traduire à l’aide de suites
récurrentes. Au travers d’exemples historiques, on introduit l’écriture matricielle
de systèmes linéaires de suites récurrentes. L’outil matriciel permet alors de trou-
ver une forme explicite des suites et de comprendre, de prévoir le comportement
asymptotique de ces suites.



B Pour débuter : modélisation
par classe d’âge
1. Évolution d’une population de lapins :
la suite de Fibonacci
Le problème suivant a été considéré au début du XIIIe siècle par Léonard de Pise.
Un homme possède un couple de lapins dans un enclos. Chaque mois, la femelle
donne naissance à un nouveau couple, que l’on place dans un nouvel enclos. On
suppose que la jeune femelle du nouveau couple est apte à se reproduire le mois
suivant, de la même manière. Une femelle est donc considérée comme adulte le
mois suivant sa naissance. Quel est le nombre de couples de lapins (ou, ce qui
revient au même, le nombre de femelles) au bout de n mois ?
On appelle an le nombre de femelles adultes au bout de n mois et j n le nombre
de jeunes femelles au bout de n mois.
Déterminons ces nombres pour les premières valeurs de n.

Génération n 0 1 2 3 4 5 6 7
Adultes an 1 1 2 3 5 8 13 21
Jeunes jn 0 1 1 2 3 5 8 13
Total 1 2 3 5 8 13 21 44
Au bout de n +1 mois, on a :
t
le nombre de femelles adultes est égal au nombre de femelles adultes du mois
précédent plus le nombre de jeunes femelles nées le mois précédent car une
jeune femelle devient adulte au bout d’un mois : an +1 = an + j n ; 
t
le nombre de jeunes femelles est égal au nombre de naissances, c‘est-à-dire au
nombre d’adultes du mois précédent : j n +1 = an .



4 Séquence 4 – MA03



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On obtient, pour n ≥ 0, j n +2 = an +1 = an + j n = j n +1 + j n . La suite ( j n ) est défi-
nie par la récurrence linéaire suivante :
 j 0 = 0, j 1 = 1
 .
pour n ≥ 0, j = j + j
 n + 2 n +1 n
Il s’agit de la célèbre suite de Fibonacci, le surnom de Léonard de Pise…
Le problème est maintenant de trouver une formule explicite pour cette suite,
c’est-à-dire une expression de j n en fonction de n. Revenons à nos deux suites
 j 
n
(an ) et ( j n ). Pour n ≥ 0, on note X n le vecteur  .
 a 
 n 
Les relations j n +1 = an et an +1 = an + j n donnent

 j n +1   0 1   j n 
X n +1 =  =   = AX n
 an +1   1 1   an 
 0 1 
avec A la matrice  .
 1 1 
 0 
Par récurrence, on obtient, pour n ≥ 0, X n = An X 0 avec X 0 =  .
 1 
L’obtention d’une formule explicite pour la suite ( j n ) se ramène donc au calcul
de la puissance n-ième de la matrice A.


2. Modélisation par classe d’âge :
les matrices de Leslie
Le modèle précédent n’est pas réaliste : il ne suppose aucune mortalité des lapins.
L’espérance de vie moyenne d’un lapin est d’environ 2 ans, on considère alors un
cycle de vie de deux ans. En général, on ne considère que les femelles. Le modèle
le plus simple est de considérer deux classes d’âge :
t
les jeunes lapines dont l’âge varie de 0 à 1 an ;
t
les lapines adultes dont l’âge varie de 1 an à 2 ans.

La maturité sexuelle des femelles est atteinte à peu près à 6 mois, on suppose
que, pour les jeunes femelles de plus de 6 mois (et de moins de 1 an), la fécondité
est en moyenne de deux femelles par an. Pour une femelle adulte, cette fécondité
passe à six femelles par an en moyenne.
Par ailleurs, on observe que 50 % des jeunes lapines n’atteignent pas l’âge adulte.
On appelle an le nombre de femelles adultes et j n le nombre de jeunes femelles
au temps n (en années).
On obtient alors le système suivant :
 j n +1 = 2 j n + 6an
 .
an +1 = 0, 5 j n


Séquence 4 – MA03 5


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 On suppose qu’initialement la population d’un parc est composée de 2 jeunes
femelles et de 1 femelle adulte.
On obtient j1 = 2j0 + 6a0 = 10 et, pour n ≥ 0,
j n +2 = 2 j n +1 + 6an +1 = 2 j n +1 + 6 × 0, 5 j n = 2 j n +1 + 3 j n . La suite ( j n ) est définie
par la récurrence linéaire suivante :
 j 0 = 2, j 1 = 10
 .
 Pour n ≥ 0, j n +2 = 2 j n +1...