Les suites

Vidéo „ partie 1. Premières définitions
Vidéo „ partie 2. Limite
Vidéo „ partie 3. Exemples remarquables
Vidéo „ partie 4. Théorèmes de convergence
Vidéo „ partie 5. Suites récurrentes
Fiche d'exercices ‡ Suites


Introduction
L’étude des suites numériques a pour objet la compréhension de l’évolution de séquences de nombres (réels, complexes
...). Ceci permet de modéliser de nombreux phénomènes de la vie quotidienne. Supposons par exemple que l’on place
une somme S à un taux annuel de 10%. Si Sn représente la somme que l’on obtiendra après n années, on a
S0 = S S1 = S × 1, 1 ... Sn = S × (1, 1)n .
Au bout de n = 10 ans, on possédera donc S10 = S × (1, 1)10 t S × 2, 59 : la somme de départ avec les intérêts cumulés.



1. Définitions

1.1. Définition d’une suite

Définition 1.
• Une suite est une application u : N → R.
• Pour n ∈ N, on note u(n) par un et on l’appelle n-ème terme ou terme général de la suite.

La suite est notée u, ou plus souvent (un )n∈N ou simplement (un ). Il arrive fréquemment que l’on considère des suites
définies à partir d’un certain entier naturel n0 plus grand que 0, on note alors (un )n>n0 .
Exemple 1.
p p p
• ( n)n>0 est la suite de termes : 0, 1, 2, 3,. . .
• ((−1)n )n>0 est la suite qui alterne +1, −1, +1, −1,. . .
• La suite (Sn )n>0 de l’introduction définie par Sn = S × (1, 1)n ,
• (Fn )n>0 définie par F0 = 1, F1 = 1 et la relation Fn+2 = Fn+1 + Fn pour n ∈ N (suite de Fibonacci). Les premiers
termes

sont 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . Chaque terme est la somme des deux précédents.
1 1 1 1
• n2 n>1 . Les premiers termes sont 1, 4 9 16 , . . .
, ,
LES SUITES 1. DÉFINITIONS 2


1.2. Suite majorée, minorée, bornée

Définition 2.
Soit (un )n∈N une suite.
• (un )n∈N est majorée si ∃M ∈ R ∀n ∈ N un 6 M .
• (un )n∈N est minorée si ∃m ∈ R ∀n ∈ N un > m.
• (un )n∈N est bornée si elle est majorée et minorée, ce qui revient à dire :
∃M ∈ R ∀n ∈ N |un | 6 M .




+ M
+
+ +
+ + +
+
+

+ +

0 1 2 +
+ + m



1.3. Suite croissante, décroissante

Définition 3.
Soit (un )n∈N une suite.
• (un )n∈N est croissante si ∀n ∈ N un+1 > un .
• (un )n∈N est strictement croissante si ∀n ∈ N un+1 > un .
• (un )n∈N est décroissante si ∀n ∈ N un+1 6 un .
• (un )n∈N est strictement décroissante si ∀n ∈ N un+1 < un .
• (un )n∈N est monotone si elle est croissante ou décroissante.
• (un )n∈N est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Voici un exemple d’une suite croissante (mais pas strictement croissante) :



+ +

+ +

+
+
+
+




Remarque.
• (un )n∈N est croissante si et seulement si ∀n ∈ N un+1 − un > 0.
un+1
• Si (un )n∈N est une suite à termes strictement positifs, elle est croissante si et seulement si ∀n ∈ N un > 1.
Exemple 2.
• La suite (Sn )n>0 de l’introduction est strictement croissante car Sn+1 /Sn = 1, 1 > 1.
• La suite (un )n>1 définie par un = (−1)n /n pour n > 1, n’est ni croissante ni décroissante. Elle est majorée par 1/2
(borne atteinte en n = 2), minorée par −1 (borne atteinte en n = 1).
LES SUITES 2. LIMITES 3


1


1
2
+
+
+
1 2 3 4 5 6
+
+
− 12


-1 +

1


• La suite n n>1 est une suite strictement décroissante. Elle est majorée par 1 (borne atteinte pour n = 1), elle est
minorée par 0 mais cette valeur n’est jamais atteinte.

Mini-exercices.
n


1. La suite n+1 n∈N est-elle monotone ? Est-elle bornée ?
n sin(n!)


2. La suite 1+n2 n∈N
est-elle bornée ?
3. Réécrire les phrases suivantes en une phrase mathématique. Écrire ensuite la négation mathématique de chacune
des phrases. (a) La suite (un )n∈N est majorée par 7. (b) La suite (un )n∈N est constante. (c) La suite (un )n∈N est
strictement positive à partir d’un certain rang. (d) (un )n∈N n’est pas strictement croissante.
4. Est-il vrai qu’une suite croissante est minorée ? Majorée ?
n

5. Soit x > 0 un réel. Montrer que la suite xn! n∈N est décroissante à partir d’un certain rang.



2. Limites

2.1. Introduction
Pour un trajet au prix normal de 20 euros on achète une carte d’abonnement de train à 50 euros et on obtient chaque
billet à 10 euros. La publicité affirme « 50% de réduction ». Qu’en pensez-vous ?
Pour modéliser la situation en termes de suites, on pose pour un entier n > 1 :
un = 20n
vn = 10n + 50
un est le prix payé au bout de n achats au tarif plein, et vn celui au tarif réduit, y compris le prix de l’abonnement. La
réduction est donc, en pourcentage :
vn un − vn 10n − 50 5
1− = = = 0, 5 − −−−−→ 0, 5
un un 20n 2n n→+∞
Il faut donc une infinité de trajets pour arriver à 50% de réduction !


50%
+ + + +
+
+
+

+
LES SUITES 2. LIMITES 4


2.2. Limite finie, limite infinie
Soit (un )n∈N une suite.
Définition 4.
La suite (un )n∈N a pour limite ` ∈ R si : pour tout ε > 0, il existe un entier naturel N tel que si n > N alors
|un − `| 6 ε :

∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n > N =⇒ |un − `| 6 ε)

On dit aussi que la suite (un )n∈N tend vers `. Autrement dit : un est proche d’aussi près que l’on veut de `, à partir
d’un certain rang.



`+ε
+ +
` +
un + + +
`−ε +
+
+
+
+ +
+
N n


Définition 5.
1. La suite (un )n∈N tend vers +∞ si :
∀A > 0 ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n >...