Chapitre 4
ALGÈBRE DE BOOLE
I - Présentation.
George Boole, mathématicien anglais, a élaboré une théorie sur les ensembles à 2 éléments que l’on appelle « l’algèbre de
Boole ».
Nous nous intéresserons, en électronique, aux 2 états d’un appareil.
Exemple
État logique 1 État logique 0
Lampe Allumée Éteinte
Radiateur Chaud Froid
Porte Ouverte Fermée
Message Vrai Faux

Si au lieu de s’intéresser à l’état « positif » des appareils (lampe allumée, radiateur chaud, etc...), on veut associer un 1 à l’état
négatif (Faux, Éteint, Froid....), on raisonnera alors en logique négative.
L’exemple précédent devient:
État logique 0 État logique 1
Lampe Allumée Éteinte
Radiateur Chaud Froid
Porte Ouverte Fermée
Message Vrai Faux

On associera une variable à chaque appareil avec un nom le moins long possible pour éviter d’écrire des formules trop
longues.
Exemple :
L pour une lampe
P pour une porte
etc.

L’algèbre de Boole possède 2 lois de composition à la fois interne et externe et une fonction.
La loi ET notée , Ù ou Ç (Les deux dernières notations sont réservées aux mathématiques)
La loi OU notée +,  ou  (Les deux dernières notations sont réservées aux mathématiques)
La fonction NON ou complément noté par une barre au-dessus de la variable: a  et  ou C en mathématique.
La loi OU est interprétée dans le sens ou c’est l’une ou l’autre ou les deux variables qui sont à 1.
II - Propriétés.
II.A - Commutativité.
Soit a, b  {0,1}
a⋅b=b⋅a
a+b= b+a
II.B - Associativité.
Soit a, b  {0,1}
a⋅( b⋅c )=( a⋅b)⋅c
a+( b+c )=( a+b )+c
II.C - Élément neutre.
Soit a  {0,1}
a⋅1=1⋅a=a
a+0=0+a=a
II.D - Élément absorbant.
Soit a  {0,1}
a⋅0=0⋅a=0
a+1=1 +a=1
II.E - Distributivité.
Soit a, b,c  {0,1}


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Distributivité de  par rapport à +
a⋅( b +c )=a⋅b+a⋅c
Distributivité de + par rapport à 
a+( b⋅c )=( a+b )⋅( a+c)

ATTENTION, cette dernière propriété ne doit pas être utilisée en cours de mathématique pour un problème d’algèbre
classique
II.F - Propriétés de la fonction NON.
II.F.1 - Manipulation de la fonction NON.
Soit a, b,c  {0,1}
̄a =a
On peut complémenter les deux membres d’une égalité
ā=b +c est identique à
̄a =b +c soit a= b+c
II.F.2 - Nilpotence.
Soit a  {0,1}
a⋅ā =0
a+ ̄a =1
II.F.3 - Théorème de De Morgan.
Soit a, b  {0,1}
a⋅b =̄a +̄b
a+b=̄a⋅̄b
II.F.4 - Idem-potence.
Soit a  {0,1}
a+a=a
̄a + ̄a =̄a
a⋅a=a
̄a⋅̄a = ̄a
II.F.5 - Formule d’absorption.
Soit a, b  {0,1}
a⋅(̄a +b) =a⋅b
a+ ̄a⋅b=a+b
II.F.6 - OU exclusif.
Soit a, b  {0,1}
a  b=a⋅̄b +̄a⋅b
a  b=a⋅b+ā⋅̄b
III - Simplification de fonctions logiques.
Les propriétés développées ci-dessus permettent de simplifier des fonctions booléennes.
Exemples :
Simplifier les fonctions suivantes (noter les résultats) :
f ( a , b , c )=a⋅b⋅c+a⋅b⋅̄c +a⋅̄c =


f ( a , b , c )=a+b+c+a⋅b⋅̄c +a⋅̄c =


f ( a , b , c )=̄a⋅b⋅c+a⋅b⋅c+a+b=


f ( a , b , c )=a⋅̄c +a +b+c+a⋅b⋅c=


f ( a , b , c )=a⋅̄c +a⋅b⋅c+( a+b )⋅c=


f ( a , b , c )=( a +b)⋅( b+ ̄c ) +a⋅b+ ̄b⋅c=




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IV - Construction d’un logigramme.
L’objectif de la simplification est de construire un schéma électrique (logigramme) le plus simple possible.
Pour réaliser un schéma, on utilise des portes logiques:




Il existe des portes à 2, 3, 4 et 8 entrées.

Exemple :
Soit l’équation à simplifier suivante,
f ( a , b, c )=̄a⋅b⋅̄c +a⋅b⋅c+a⋅b
On trouve
f ( a , b , c )=̄a⋅c+ a⋅b + b  c
On aura besoin de 2 portes ET à 2 entrées, un inverseur, une porte OU à 3 entrées et une porte OU exclusif à 2 entrées.




IV.A - Brochages des principales portes logiques (Utile dans un
simulateur).
Fonction Brochage TTL Brochage CMOS
OU NON à
2 entrées




OU NON à
3 entrées




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 Fonction Brochage TTL Brochage CMOS
OU NON à
4 entrées


N’existe pas sous forme de porte simple.




ET NON à
2 entrées




ET NON à
3 entrées




ET NON à
4 entrées




OU à 2
entrées




OU à 3
entrées


N’existe pas sous forme de porte simple.




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 Fonction Brochage TTL Brochage CMOS
OU à 4
entrées


N’existe pas sous forme de porte simple.




ET à 2
entrées




ET à 3
entrées




ET à 4
entrées




Amplificat
eur non
inverseur

N’existe pas sous forme de porte simple.




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 Fonction Brochage TTL Brochage CMOS
Amplificat
eur
inverseur




OU
EXCLUSI
Fà2
entrées.




OU NON
EXCLUSI
Fà2
entrées
N’existe pas sous forme de porte simple.




ET NON à
8 entrées.




OU NON à
8 entrées.


N’existe pas sous forme de porte simple.




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