FORMULAIRE RELATIF AUX OPÉRATEURS
r r
Soient U et V deux champs scalaires et a et b deux champs vectoriels.

1. Formules portant sur un seul champ:
r r r2 →
1. ∇.(∇ U) = ∇ U soit div(grad U) = ∆U
r r r → → r
2. ∇ ∧ (∇U) = 0 soit rot (grad U) = 0
r r r r →r r
3. ∇ . ( ∇ ∧ a ) = 0 soit div( rot a ) = 0
r r r r r r r 2r → →r → r r
4. ∇ ∧ (∇ ∧ a ) = ∇( ∇. a ) − ∇ a soit rot (rot a ) = grad(div a ) − ∆ a

2. Formules portant sur deux champs:
r r r → → →
5. ∇ (UV) = V ∇ (U) + U ∇ (V) soit grad(UV) = V grad U + U grad V
r r r r r r r → r r
6. ∇. (U a) = a (∇U) + U ( ∇. a ) soit div(U a ) = grad U. a + U div a
r r r r r r → r → r → r
7. ∇ ∧ (U a ) = ( ∇U) ∧ a + U (∇ ∧ a) soit rot (U a ) = grad U ∧ a + U rot a
r r r r r r r r r r r r →r r →r
8. ∇. ( a ∧ b) = b. ( ∇ ∧ a ) − a. (∇ ∧ b) soit div( a ∧ b) = b. rot a − a . rot b
r r r r r r rr r r r r rr r
9. ∇ ∧ ( a ∧ b) = ( ∇. b) a − ( ∇. a ) b + ( b.∇ ) a − ( a.∇ ) b
→ r r r r r r r → r r → r
soit rot ( a ∧ b) = (div b) a − (div a ) b + ( b. grad ) a − ( a. grad) b
r rr r r r r r r r r r rr r
10. ∇ ( a . b) = a ∧ (∇ ∧ b) + b ∧ (∇ ∧ a ) + ( b.∇ ) a + ( a.∇ ) b
→ rr r →r r →r r → r r → r
soit grad( a . b) = a ∧ (rot b) + b ∧ ( rot a) + ( b. grad ) a + ( a. grad) b

3. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées:

a. Gradient:
→  ∂ U r  ∂ U r  ∂ U r
* cartésiennes: grad U =   ex +   ey +   ez
 ∂x  ∂y  ∂z 

→  ∂ U r 1  ∂ U r  ∂ U r
* cylindriques: grad U =   er +   eθ +   ez
 ∂r  r ∂θ  ∂z 

→  ∂U  r 1  ∂ U r 1  ∂ U r
* sphériques: grad U =   er +   eθ +   eϕ
∂r r  ∂θ  r sin θ  ∂ ϕ 

b. Divergence:

r  ∂a   ∂ a   ∂ a 
* cartésiennes: div a =  x  +  y  +  z 
 ∂x   ∂ y   ∂z 

r 1  ∂ r ar 1  ∂ aθ   ∂ az 
* cylindriques: div a =  +   + 
r  ∂ r  r  ∂θ   ∂ z 


r 1  ∂ r 2 ar  1  ∂ a θ sin θ  1  ∂ aϕ 
* sphériques: div a =   +   +  

r 2  ∂ r  r sin θ  ∂ θ  r sin θ  ∂ ϕ 
 c. Rotationnel:

→ r  ∂a ∂ ay  r  ∂ ax ∂ az  r  ∂ ay ∂ ax  r
* cartésiennes: rot a =  z −  ex +  −  ey +  −  ez
∂y ∂z   ∂z ∂x   ∂x ∂y
→ r 1 ∂a ∂ aθ  r  ∂ ar ∂ az  r 1  ∂ ( r aθ ) ∂ a r  r
* cylindriques: rot a =  −  er +  −  eθ +  −
z
 ez
 r ∂ θ ∂ z   ∂ z ∂ r  r ∂r ∂θ 

* sphériques:

→r 1  ∂ (a ϕ sin θ) ∂ a θ  r 1  1 ∂ a r ∂ ( r a ϕ )  r 1  ∂ ( r aθ ) ∂ a r  r
rot a =  −  er +  −  eθ +  −  eϕ
r sin θ  ∂θ ∂ϕ  r  sin θ ∂ ϕ ∂r  r ∂r ∂θ 

d. Laplacien:

 ∂ 2 U   ∂ 2 U   ∂2 U 
* cartésiennes: ∆U =   +   +  
2 2 2
 ∂x  ∂ y   ∂z 

 ∂2 U 1  ∂ U 1  ∂2 U   ∂2 U 
* cylindriques: ∆U =   +   + 2   +  
2  ∂ 2 2 
 ∂r  r  r  r  ∂θ   ∂ z 

 ∂2 U 2  ∂ U 1  ∂2 U  1  ∂  ∂ U 
* sphériques: ∆U =   +   +   +   sin θ 
 ∂ r  r  ∂ r  r sin θ  ∂ ϕ  r sin θ  ∂ θ 
2 2 2 2 2 ∂ θ  

4. Action des opérateurs sur le trièdre de base:

a. coordonnées cylindriques:

→r r →r r
ez → r r
rot er = 0 ; rot eθ = ; rot e z = 0 pour le rotationnel
r

r 1 r r
div er = ; div eθ = 0 ; div ez = 0 pour la divergence
r

b. coordonnées sphériques:

→r r →r r
eϕ → r
r
cosθ r eθ
rot er = 0 ; rot eθ = ; rot eϕ = er − pour le rotationnel
r r sin θ r

r 2 r 1 r
div er = ; div eθ = ; div eϕ = 0 pour la divergence
r r tanθ