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Trigonométrie


I Fonctions circulaires

1 Premières propriétés

sin x cos x tan x cotan x
nπ
Ensemble de
 o
R R Rr + kπ  k ∈ Z R r πZ

définition 2
Période 2π 2π π π
Parité impaire paire impaire impaire
f (π − x) sin x − cos x − tan x − cotan x
f (π + x) − sin x − cos x tan x cotan x
π 
f −x cos x sin x cotan x tan x
2
π 
f +x cos x − sin x − cotan x − tan x
2
nπ
Ensemble de
 o
R R Rr + kπ  k ∈ Z R r πZ

dérivabilité 2
−1−cotan 2 x
1 −1
Dérivée cos x − sin x 1 + tan2 x = =
cos2 x sin2 x




2 Valeurs remarquables

π
cotan x
2 π π
3 2
π
4
1 π
2 6
tan x
sin x

0
√ √ 0
1 2 3 cos x
2 2 2
8 Trigonométrie



0 π/6 π/4 π/3 π/2
√ √ √
sin x 0 1/2 2/2 3/2 1
√ √ √
cos x 1 3/2 2/2 1/2 0
√ √
tan x 0 1/ 3 1 3 indéfini
√ √
cotan x indéfini 3 1 1/ 3 0


II Fonctions réciproques des fonctions circulaires
1 Définition
Les périodicités et les symétries des fonctions trigonométriques introduisent une
difficulté pour résoudre les équations du type sin x = λ. Par exemple, π/6 , 5π/6 et
π/6 + 4π ont tous la même image par la fonction sinus. Les « fonctions circulaires
réciproques » Arcsin , Arccos , Arctan et Arccot ne sont pas de vraies réciproques,
puisque les fonctions de départ ne sont pas des bijections ; ajoutons qu’elles ne sont
pas périodiques. Il faut les combiner avec la périodicité et, pour sinus et cosinus, avec
les symétries par rapport à l’axe des ordonnées et l’axe des abscisses respectivement.

• Si sin x = λ ∈ [ −1 ; 1 ], alors x = Arcsin λ mod 2π
ou x = π − Arcsin λ mod 2π
• Si cos x = λ ∈ [ −1 ; 1 ], alors x = Arccos λ mod 2π
ou x = − Arcsin λ mod 2π
• Si tan x = λ ∈ R, alors x = Arctan λ mod π
• Si cotan x = λ ∈ R, alors x = Arccot λ mod π

Le problème réciproque est, lui, sans difficulté : si x = Arcsin λ, alors sin x = λ.


2 Propriétés
Arcsin x Arccos x Arctan x Arccot x
Ensemble de
[ −1 ; 1 ] [ −1 ; 1 ] R R
définition
Ensemble
[ −π/2 ; π/2 ] [0;π] ] −π/2 ; π/2 [ ]0;π[
image
Période aucune aucune aucune aucune
Parité impaire aucune impaire aucune
Ensemble de
] −1 ; 1 [ ] −1 ; 1 [ R R
dérivabilité

1 −1 1 −1
Dérivée √ √
1 − x2 1 − x2 1 + x2 1 + x2
 T

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3 Relations
Arccos x + Arcsin x = π/2

 0 si xy < 1


x+y
Arctan x + Arctan y = Arctan + επ où ε = 1 si xy > 1 et x, y > 0
1 − xy 

−1 si xy > 1 et x, y 6 0


Arctan x + Arccot x = π/2
(
Arctan 1/x si x > 0
Arccot x =
π + Arctan 1/x si x < 0

Arctan x + Arctan 1/x = sign(x) × π/2


III Formules
1 Corollaires du théorème de Pythagore

cos2 x + sin2 x = 1
1
cos2 x =
1 + tan2 x
1 tan2 x
sin2 x = 2 =
1 + cot x 1 + tan2 x

2 Addition des arcs
p+q p−q
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b cos p + cos q = 2 cos cos
2 2
p+q p−q
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin p + sin q = 2 sin cos
2 2
tan a + tan b sin(p + q)
tan(a + b) = tan p + tan q =
1 − tan a tan b cos p cos q
p−q p+q
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b sin p − sin q = 2 sin cos
2 2
p+q p−q
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a cos p − cos q = −2 sin sin
2 2
tan a − tan b sin(p − q)
tan(a − b) = tan p − tan q =
1 + tan a tan b cos p cos q

3 Arc double, arc moitié
1 + cos 2x
cos 2x = cos2 x − sin2 x cos2 x =
2
= 2 cos2 x − 1
= 1 − 2 sin2 x
1 − cos 2x
sin 2x = 2 sin x cos x sin2 x =
2
2 tan x sin 2x 1 − cos 2x
tan 2x = tan x = =
1 − tan2 x 1 + cos 2x sin 2x
1 Trigonométrie


x
En notant t = tan comme dans les règles de Bioche, on a :
2
2t 1 − t2
sin x = 2
cos x =
1+t 1 + t2

4 Formule de Moivre
(cos a + i sin a)n = cos na + i sin na

d’où cos 3a = cos3 a − 3 cos a sin2 a
= 4 cos3 a − 3 cos a
sin 3a = 3 cos2 a sin a − sin3 a
= 3 sin a − 4 sin3 a
3 tan a − tan3 a
tan 3a =
1 − 3 tan2 a

5 Arcs en progression arithmétique
nx (n + 1)x nx (n + 1)x
n sin sin n cos sin
P
sin kx = 2 2 P
cos kx = 2 2
x x
k=0 sin k=0 sin
2 2

IV Trigonométrie hyperbolique
ch 2 x − sh 2 x = 1
p+q p−q
ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b ch p + ch q = 2 ch ch
2 2
p+q p−q
sh (a + b) = sh a ch b + sh b ch a sh p + sh q = 2 sh ch
2 2
th a + th b sh (p + q)
th (a + b) = th p + th q=
1 + th a th b ch p ch q
p+q p−q
ch (a − b) = ch a ch b − sh a sh b ch p − ch q = 2 sh sh
2 2
p−q p+q
sh (a − b) = sh a ch b − sh b ch a sh p − sh q = 2 sh ch
2 2
th a − th b sh (p − q)
th (a − b) = th p − th q=
1 − th a th b ch p ch q


ch 2x + 1
ch 2x = ch 2 x + sh 2 x ch 2 x =
2
= 2 ch 2 x − 1
= 1 + 2 sh 2 x
ch 2x − 1
sh 2x = 2 sh x ch x sh 2 x =
2
2 th x sh 2x ch 2x − 1
th 2x = th x = =
1 + th 2 x ch 2x + 1 sh 2x

  11

x
En notant t = th , on a :
2
2t 1 + t2
sh x = ch x =
1 − t2 1 − t2


(ch a + sh a)n = ch na + sh na

d’où ch 3a = ch 3 a + 3 ch a sh 2 a
= 4 ch 3 a − 3 ch a

sh 3a = 3 ch 2 a sh a + sh 3 a
= 4 sh 3 a + 3 sh a

3 th a + th 3 a
th 3a =
1 + 3 th 2 a