Ecrit 2 CAPES Mathématiques


CAPES Agricole 2019 : Objectif Lune

Le sujet est à se procurer en ligne. Quelques questions dont l’intérêt d’une correction est très relatif sont
zappées.
Ce sujet est remarquable par sa partie A, intéressante, instructive et rappelant une découverte
historiquement magistrale, coup de chapeau à l’auteur du sujet pour ce choix opportun. J’invite les
candidats au CAPES à étudier au moins cette partie. Les parties sur la cosécante, sont plus « terre à terre »
si j’ose m’exprimer ainsi en la circonstance.


Configurations du plan


Partie A : Distance Terre-Lune

Dans toute cette partie, l’unité de mesure des angles est le degré

2. Soit (x, y , z ) la mesure d’un angle en degrés, minutes et secondes. La mesure de cet angle en degrés

décimaux est θ ( x, y, z ) = gjulia x +
y z
+
60 3600

La fonction f définie ci-contre effectue cette conversion.

Si on note E le point de l’équateur situé sur le même méridien
que Berlin et Le Cap, la mesure exacte en degrés décimaux de
∧
l’angle ETC est 52,52 tandis qu’une valeur approchée de la
∧
mesure en degrés décimaux de l’angle ETB est 34,357 à 10-3
près par excès.
∧
L’angle BTC est la somme de ces deux angles, 86,877 est une
valeur approchée de sa mesure à 10-3 près par excès.


 ∧ 
 BTC 
3. BC = 2 × 6370 × sin  . On trouve 8760 kilomètres au kilomètre près.
 2 
 



4.1. Soit J’ le symétrique de J par rapport au point O. Le
segment [JJ’] étant un diamètre du cercle circonscrit au triangle
IJK, le triangle JJ’K est un triangle rectangle en K.
 ∧   ∧ 
Par conséquent : KJ = JJ ' sin  JJ ' K  = 2 r sin  JJ ' K  .
   
Or, les quatre points J, K, I, J’ sont des points cocycliques.
∧
D’après le théorème de l’angle inscrit, les deux angles JJ ' K et
∧
JIK sont ou bien des angles égaux …




G. JULIA, mars2019 1
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… ou bien des angles supplémentaires.

Ces deux angles ont, dans les deux cas, le même sinus.
 ∧ 
On en déduit que : KJ = gj 2 r sin  JIK 
 
 ∧  KJ
C'est-à-dire que sin  JIK  = .
  2r

4.2. Par permutation circulaire des lettres I, J, K, et sans
nouvelle démonstration, deux relations analogues :
∧ ∧
  IK   JI
sin  KJI  = et sin  IKJ  =
  2r   2r


NB. On note que les relations précédentes ne sont autres, écrites différemment, que la relation des sinus
dans un triangle.

On connaît mieux cette « relation des sinus » dans un triangle noté ABC sous la forme
a b c
« = = », rapport accessoirement égal à deux fois le rayon du cercle circonscrit.
sin A sin B sin C

Notons au passage, ce qui va servir bientôt, la relation de proportionnalité indépendante du rayon du cercle
a sin A
circonscrit que voici : =
b sin B



4.3. Intéressons nous à la figure 1 de l’énoncé et reprenons ses notations.
∧ ∧ ∧
Le triangle BTC étant isocèle de sommet T, l’angle αˆ = TBC = TCB est tel que : 2 αˆ + BTC = 180 . Cet angle
∧
BTC
est égal à : αˆ = gj 90 −
2

Considérons dans cette figure 1 le triangle BCL et évaluons les divers angles de ce triangle :

∧
∧ BTC
• D’une part CBL = 180 − bˆ − αˆ = 90 − bˆ + .
2
∧
∧ BTC
• D’autre part : BCL = 180 − cˆ − αˆ = 90 − cˆ + .
2
∧ ∧
∧ ∧ ∧     ∧
 BTC   BTC  ˆ
• Enfin, BLC = 180 − BCL − CBL = 180 −  90 − cˆ + − 90 − ˆ
b + = b + ˆ
c − BTC
 2   2 
   




G. JULIA, mars2019 2
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Nous ne connaissons pas le rayon du cercle circonscrit.

Cependant, appliquant à ce triangle les formules obtenues à la question précédente, et en particulier la
remarque « une relation indépendante du rayon du cercle circonscrit » :
 ∧   ∧ 
sin BCL  sin  BCL 
BL
=   , c'est-à-dire que : BL = BC  ∧ 
BC  ∧  gilbertjulia
 
sin BLC  sin  BLC 
   

Compte tenu des valeurs numériques calculées par
les divers protagonistes de cette affaire :

86,877
αˆ = gj 90 − = 46,56 (à 10-2 près) ;
2
∧
CBL = 180 − bˆ − αˆ = 79,92 (à 10-2 près)
∧
BCL = 180 − cˆ − αˆ = 98,78 (à 10-2 près) ;
∧ ∧
BLC == bˆ + cˆ − BTC = 1,303 (à 10-3 près)

On obtient : BL = 380700 kilomètres

De même, on obtiendrait : CL = 379280 kilomètres




G. JULIA, mars2019 3
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Partie B : Définition de quelques fonctions trigonométriques

L’unité de mesure des angles est désormais le radian.

4. Soit le point Mx sur le cercle trigonométrique et Tx la tangente en ce point au cercle trigonométrique.

Cette droite Tx est la perpendiculaire en Mx à la radiale (OMx). Elle est parallèle à Oy quand Mx appartient à
Ox, c'est-à-dire quand x ≡ 0 (π ) , et elle est parallèle à Ox quand Mx appartient à Oy, c'est-à-dire quand
π
x≡ (π ) .
2

5 à 8. Le point Lx existe si et seulement si Tx et Ox sont des droites sécantes, c'est-à-dire quand x n’est pas
π
de la forme x = + k π ; k ∈Z .
2
Le point Nx existe si et seulement si Tx et Oy sont des droites sécantes, c'est-à-dire quand x n’est pas de la
forme x = k π ; k ∈ Z .
π 
L’ensemble L des réels x tels que Lx existe est l’ensemble : R -  + k π ; k ∈ Z 
2 
L’ensemble N des réels x tels que Nx existe est l’ensemble : R - {k π ; k ∈ Z}


Pour obtenir les coordonnées de ces points, quand ils existent, la recherche d’une équation cartésienne de la
tangente est utile.

L’auteur du sujet n’ayant pas libéré la notation x pour désigner l’abscisse d’un point de la tangente, il
appartient au candidat de distinguer, d’une façon ou d’une autre, la notation de cette abscisse de celle d’une
r
( )
mesure de l’angle i , OM . Je prends l’option de changer provisoirement la notation de cet angle, sa
mesure s’appellera u dans cette question.

Soit donc le point Mu et Tu la tangente en ce point au cercle trigonométrique.

Un point M (x, y ) appartient à Tu si et seulement si le vecteur M u M est orthogonal au vecteur OM u , c'est-
à-dire si et seulement si le produit scalaire OM u . M u M est nul.
Ce qui donne l’équation : cos u (x − cos u ) + sin u ( y − sin u ) = 0 .

Une équation cartésienne de Tu est de ce fait : x cos u + y sin u − 1 = 0

 1 
Il en résulte que lorsqu’ils existent le point Lu a pour coordonnées Lu  , 0  , autrement dit
 cos u 
...