CAPES de mathématiques
Option Mathématiques–Session 2018

Le sujet comporte cinq parties.

Notations
N désigne l’ensemble des entiers naturels et N˚ l’ensemble des entiers naturels non nuls.
Pour m et n deux entiers naturels, Jm; nK désigne l’ensemble des entiers k tels que m ď k ď n.
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs.
Q désigne l’ensemble des nombres rationnels.
R désigne l’ensemble des nombres réels.
On note e le nombre expp1q, image de 1 par la fonction exponentielle.
On rappelle que, pour tout nombre réel x, il existe un unique entier relatif Epxq tel que
Epxq ď x ă Epxq ` 1. Cet entier Epxq est appelé partie entière de x.


Partie A : suites adjacentes

Étant donné deux suites réelles pan qnPN et pbn qnPN , on rappelle qu’elle sont dites adjacentes
si l’une des deux est croissante, l’autre décroissante et si lim pan ´ bn q “ 0.
nÑ`8

I. On suppose dans cette question que la suite pan qnPN est croissante et que la suite
pbn qnPN est décroissante.
1. Montrer que la suite pan ´ bn qnPN est monotone et en déduire que pour tout entier
naturel n, an ď bn .
Comme pbn qnPN est décroissante, p´bn qnPN est croissante et donc pan ´ bn qnPN ,
somme de suites croissantes, est croissante. Comme la limite de cette suite est 0,
pour tout n P N, an ´ bn ď 0, donc an ď bn .

2. Justifier que les suites pan qnPN et pbn qnPN sont convergentes vers une même limite
` vérifiant :
@n P N, an ď ` ď bn .
Comme pbn qnPN est décroissante, pour tout n ě 0, an ď bn ď b0 : la suite pan qnPN
est croissante et majorée, donc converge vers une limite ` P R. De même, pbn qnPN
est décroissante et minorée par a0 , donc converge vers une limite `1 P R.

lim an ´ bn “ ` ´ `1 “ 0,
nÑ`8

donc ` “ `1 . Comme pan qnPN est croissante, pour tout n P N, an ď `. Comme
pbn qnPN est décroissante, pour tout n P N, ` ď bn .

3. On suppose de plus les suites pan qnPN et pbn qnPN strictement monotones. Montrer
que :
@n P N, an ă ` ă bn .
Dans ce cas, pour tout n P N, an ă an`1 ď ` ď bn`1 ă bn , donc an ă ` ă bn .

n
ÿ 1 1
II. Pour tout entier naturel n non nul, on pose an “ et bn “ an ` .
p“0
p! n ˆ n!

1
1. Montrer que les suites pan qnPN˚ et pbn qnPN˚ sont adjacentes.
Pour tout n ě 1 :
1
an`1 ´ an “ ą 0,
pn ` 1q!
1 1 1
bn`1 ´ bn “ ` ´
pn ` 1q! pn ` 1qpn ` 1q! nn!
1
“ pnpn ` 1q ` n ´ pn ` 1q2 q
npn ` 1qpn ` 1q!
´1
“ ă 0,
npn ` 1qpn ` 1q!
1
lim an ´ bn “ lim ´ “ 0.
nÑ`8 nÑ`8 nn!
Les suites pan qnPN˚ et pbn qnPN˚ sont donc adjacentes.
ż1
1
2. Démontrer que pour tout entier naturel n non nul, e ´ an “ p1 ´ tqn et dt.
n! 0
Indication : on pourra procéder par récurrence.
Pour n “ 1, en intégrant par parties :
ż1 ż1
t t 1
p1 ´ tqe dt “ rp1 ´ tqe s0 ` et dt
0 0
“ ´1 ` ret s10
“e´2
“ e ´ a1 .
Supposons le résultat vrai au rang n pour un certain n ě 1. En intégrant par
parties :
ż1
1 1
ż
1 n`1 t 1 n`1 t 1
p1 ´ tq e dt “ rp1 ´ tq e s0 ` p1 ´ tqn edt
pn ` 1q! 0 pn ` 1q! n! 0
1
“´ ` e ´ an
pn ` 1q!
“ e ´ an`1 .
Par le principe de récurrence, le résultat est vrai pour tout n ě 1.
1
3. En déduire que pour tout entier naturel n non nul, 0 ă e ´ an ă .
n ˆ n!
En déduire la limite de la suite pan qnPN˚ .
Indication : on pourra étudier les variations de la fonction t ÞÑ p1 ´ tqet .
Soit f la fonction définie sur r0, 1s par f ptq “ p1 ´ tqet . Cette fonction est dérivable
et pour tout t P r0, 1s :
f 1 ptq “ ´et ` p1 ´ tqet “ ´tet ď 0.
De plus, f 1 ne s’annule qu’en 0. Donc f décroît strictement. Par suite, pour tout
t Ps0, 1s, f ptq ă f p0q “ 1. On obtient alors que pour tout n ě 1 :
ż1 ż1
0 ă p1 ´ tq e dt “ p1 ´ tqn´1 p1 ´ tqet dt
n t
0 0
ż1 „ 1
n´1 p1 ´ tqn 1
ă p1 ´ tq dt “ ´ “ .
0 n 0 n

2
 1
D’après II.2, on obtient 0 ă e ´ an ă donc an ă e ă bn . Les suites pan qnPN˚ et
nn!
pbn qnPN˚ étant adjacentes, en notant ` leur limite commune, on obtient ` ď e ď e,
donc ` “ e.

4. En déduire une valeur de n telle que an soit une valeur approchée de e à 10´5 près.
1
D’après I.2, il suffit de choisir n tel que ă 10´5 , ou de façon équivalente,
nn!
nn! ą 105 . À l’aide d’une calculatrice, on obtient n “ 7.

5. On suppose que e est un nombre rationnel.
a. Montrer qu’il existe un entier naturel non nul q tel que le nombre e q! soit un
entier naturel.
p
Posons e “ , avec p, q P N˚ . Alors q!e “ ppq ´ 1q! P N˚ .
q
˜ q
¸
ÿ 1
b. Montrer que x “ q! e ´ est un entier naturel.
p“0
p!

q
ÿ q!
x “ q!e ´ P Z.
k“0
k!

De plus, d’après la question II.3, e ´ aq ą 0, donc x P N˚ .

c. Montrer que 0 ă x ă 1.
q! 1
Il reste à montrer que x ă 1. D’après II.3, x ă qq!
“ q
ď 1.

d. Conclure.
x est donc un entier dans l’intervalle s0, 1r : c’est impossible. En conséquence,
e n’est pas un nombre rationnel.

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle ouvert I contenant 0. On rappelle
que f est dite développable en série entière au voisinage de 0 s’il existe un nombre réel R ą 0
et une suite pan qně0 de nombres réels tels que s ´ R, Rr est inclus dans I et :
`8
ÿ
@x Ps ´ R, Rr, f pxq “ an x n .
k“0

1
III. 1. Démontrer que la fonction x ÞÑ est développable en série entière au voisinage
1`x
de 0. Préciser son développement et donner le rayon de convergence de cette série
entière.
Pour tout x P R, dif...