Ecrit 2 CAPES Mathématiques


CAPES 2014. Les deux problèmes de géométrie.

1. Epreuve 1, problème 1 : le sujet

Cette épreuve s’intéresse aux applications bijectives du plan qui transforment une droite en une droite. Cette
propriété caractérise-t-elle un certain type d’applications du plan ?

Notations
On désigne par GL2 (R ) l’ensemble des matrices 2 × 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P
muni d’un repère (O;I;J). Les coordonnées dans ce repère des points de P sont notées sous forme de matrices
colonnes éléments de M2,1 (R )

Définition. Soit f une application de P dans P. On dira que f vérifie la condition des droites si :
1. f est bijective.
2. Pour toute droite D de P, f (D ) est aussi une droite de P.
Le but du problème est de trouver toutes les applications vérifiant la condition des droites.

Partie A : conséquences de la condition des droites et exemples

1. Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites.
1.1. Soient M et N deux points distincts de P. Montrer que l’image par f de la droite (MN) est la droite
( f (M ) f (N )) .
1.2. Soient D et D’deux droites distinctes de P. Montrer que f (D ) ∩ f (D ') = f (D ∩ D ')
1.3. Montrer que les droites f (D ) et f (D ') sont parallèles si et seulement si les droites D et D’sont parallèles.
1.4. Soient M, N, P trois points distincts de P. Montrer que M, N et P sont alignés si et seulement si f (M ) ,
f ( N ) et f (P ) sont alignés.
1.5. Soient M, N, P, Q quatre points distincts de P. Montrer que MNPQ est un parallélogramme si et
seulement si f (M ) f (N ) f (P ) f (Q ) est un parallélogramme.

2. Soient A∈ GL2 (R ) et B ∈ M2,1 (R ) . On considère l’application f A, B de P dans P qui à tout point
 x
X =   associe le point A X + B
 y
2.1. Montrer que f A, B est bijective et déterminer son application réciproque.
2.2. Soient M, N, P trois points distincts de P. Montrer que M, N et P sont alignés si et seulement si f A,B (M ) ,
f A,B ( N ) et f A, B (P ) sont alignés.
2.3. Montrer que f A, B vérifie la condition des droites.

3. Soient O’, I’, J’ trois points non alignés de P. Montrer qu’il existe A ∈ GL2 (R ) et B ∈ M2,1 (R )
tels que f A, B (O ) = O ' , f A,B (I ) = I ' , f A, B (J ) = J ' .


Partie B. Endomorphisme de l’anneau R
φ (x + y ) = φ ( x ) + φ ( y )
Soit φ une application de R dans R telle que φ (1) = 1 et pour tous réels x et y : 
φ (x y ) = φ ( x )φ ( y )

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1. Montrer que : φ (0 ) = 0 et que pour tous réels x et y : φ (x − y ) = φ (x ) − φ ( y )
 x  φ (x )
2. Montrer que pour tout nombre réel x et pour tout nombre réel non nul y : φ   =
 y  φ (y)
3. Montrer que pour tout entier naturel n : φ (n ) = n

4. Montrer que pour tout nombre rationnel r : φ (r ) = r

5. Soient a et b deux nombres réels, tels que a ≤ b . Montrer que φ (a ) ≤ φ (b ) .On pourra utiliser l’égalité
b−a= ( b−a )
2




6. Soit x un nombre réel et soit ε un nombre réel strictement positif.
6.1. Montrer l’existence de deux nombres rationnels x’ et x’’ tels que x − ε ≤ x' ≤ x ≤ x' ' ≤ x + ε
6.2. En déduire que x − ε ≤ φ ( x ) ≤ x + ε
6.3. En déduire que φ = Id R


Partie C. Un cas particulier
Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites et telle que
f (O ) = O ; f (I ) = I ; f (J ) = J
1. Justifier l’existence de deux applications φ et ψ de R dans R, telles que pour tous nombres réels x et y, les
 x 0  φ ( x )  0 
images par f des points de coordonnées   et   sont respectivement   et  
0  y  0  ψ ( y )
2. Vérifier que φ (0) = ψ (0) = 0 et que φ (1) = ψ (1) = 1

 x
3.1. Soient x et y deux nombres réels non nuls. Soient A ; B ; C les points du plan de coordonnées A  ,
0
0  x
B  et C   . Montrer que f (O ) f ( A) f (C ) f (B ) est un parallélogramme.
 y  y
 x
3.2. En déduire que pour tous nombres réels x et y l’image du point de coordonnées   est le point de
 y
 φ (x ) 
coordonnées   .
ψ ( y )


 x 0
4. Soit x un nombre réel non nul. Soient A et B les points de coordonnées A  et B  .
0  x
4.1. Montrer que ( f ( A) f (B )) est parallèle à (IJ).
4.2. En déduire que pour tout nombre réel x : φ (x ) = ψ ( x ) .

 x
5. Soient x et y deux nombres réels non nuls. Soient A, B, C les points du plan de coordonnées A  ,
0
 y  x + y
B  et C   .
1  1 
5.1. Montrer que f (O ) f ( A) f (C ) f (B ) est un parallélogramme.
5.2. En déduire que En déduire que pour tous nombres réels x et y : φ (x + y ) = φ (x ) + φ ( y ) .

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 x
6. Soient x et y deux nombres réels non nuls. Soient A, B, C les points du plan de coordonnées A  ,
0
0  0 
B  et C   .
 y  x y
6.1. Montrer que les droites (AC) et (IB) sont parallèles.
6.2. Montrer que les droites ( f ( A) f (C )) et (I f (B )) sont parallèles.
6.3. En déduire que pour tous nombres réels x et y : φ (x y ) = φ (x )φ ( y ) .

7. Montrer que f = Id P


Partie D. Cas général.
Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites.

1. Montrer que f (O ), f (I ), f ( J ) ne sont pas alignés.

2. Montrer qu’il existe A∈ GL2 (R ) et B ∈ M2,1 (R ) tels que f A, B (O ) = f (O ) ; f A,B (I ) = f (I ) ; f A, B ( J ) = f ( J )

−1
3. Montrer que f A, B o f = Id P

4. Donner toutes les applications vérifiant la condition des droites.




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2. Eléments de correction

Partie A.
1. Soit f une application de P dans P vérifiant la condition des droites.
1.1. M et N étant deux points distincts de P, leurs images f (M ) et f ( N ) sont des points distincts puisque f
est bijective. L’image de (MN) est une droite, elle passe par les points distincts f (M ) et f ( N ) , il s’agit de la
droite ( f (M ) f (N )) .

1.2 et 1.3. L’hypothèse importante est l’injectivité de f.
De façon tout à fait générale, l’inclusion f (D ∩ D') ⊂ ( f (D ) ∩ f (D')) est en effet vérifiée quelle que soit
l’application f définie sur un ensemble donné et quelles que soient les parties D et D’ de cet ensemble.

Voyons l’inclusion réciproque. Soit V un point de f (D ) ∩ f (D ') . Il existe par hypothèse un point U de D tel
que V = f (U ) et un point U’ de D’ tel que V = f (U ') . Mais f étant supposée bijective, elle est injective et le
point V a par f un unique antécédent : V = f (U ) = f (U ') ⇒ U = U ' . Donc, l’antécédent de V appartient à
D ∩ D' . Tout point de f (D ) ∩ f (D ') a pour antécédent par f un point de D ∩ D ' :
( f (D ) ∩ f (D')) ⊂ f (D ∩ D')
Finalement f (D ) ∩ f (D ') gj 2015 = f (D ∩ D') en raison de l’injectivité de f.

On sait que l’intersection de deux droites du plan est ou bien une droite, ou bien un unique point, ou bien
l’ensemble vide. On sait aussi que dans le plan, une intersection de deux droites égale à l’ensemble vide
caractérise le parallélisme strict des susdites droites.
Dès lors, si on considère les deux paires de droites : D et D’ d’une part, f (D ) et f (D ') d’autre part, de trois
choses l’une :
• Ou bien une des deux paires de droites est une paire de droites confondues. L’autre paire aussi.
• Ou bien une des deux paires de droites est une paire de droites ...