Intégrales de Wallis

John Wallis, mathématicien anglais, est né en 1616 et est mort en 1703. Wallis est donc antérieur à Newton.
1) Définition.
On pose
Z π/2
∀n ∈ N, Wn = sinn t dt.
0

π
Wn existe pour tout entier naturel n car la fonction t 7→ sinn t est continue sur [0, ].
2
2) Autres expressions de Wn .
π
Le changement de variables u = − t fournit
2
Z π/2
∀n ∈ N, Wn = cosn t dt.
0

π π
Soit ε un réel de ]0, [. La fonction u 7→ Arcsin u = t est de classe C1 sur [0, Arcsin( −ε)] et on peut poser t = Arcsin u ou
2 Z π/2−ε Z Arcsin(π/2−ε) 2
n un
encore u = sin t pour obtenir sin t dt = √ du. Quand ε tend vers 0 par valeurs supérieures,
Z π/2−ε 0 0 1 − u2
Z Arcsin(π/2−ε) Z1
n un un
sin t dt tend vers Wn et il en est de même de √ du de sorte que l’intégrale √ du
0 0 1 − u2 0 1 − u2
n
u
converge. Comme la fonction u 7→ √ est positive sur [0, 1[, on en déduit que cette fonction est intégrable sur [0, 1[.
1 − u2
Quand ε tend vers 0, on obtient alors
Z1
un
∀n ∈ N, Wn = √ du.
0 1 − u2
On peut aussi poser u = sin t dans l’intégrale définissant W2n+1 pour obtenir
Z π/2 Z π/2 Z1
W2n+1 = cos2n+1 t dt = (1 − sin2 t)n cos t dt = (1 − u2 )n du.
0 0 0
Z1
∀n ∈ N, W2n+1 = (1 − u2 )n du.
0

3) Sens de variation de la suite (Wn )n∈N .
π
Pour tout entier naturel n et tout réel t de ]0, [, on a 0 < sin t < 1 et en multipliant les trois membres de cet encadrement
2
par le réel strictement positif sinn t, on obtient 0 < sinn+1 t < sinn t.
Puisque les trois membres de cet encadrement sont des fonctions continues sur [0, 1] les inégalités strictes sont préservées
par intégration et on obtient ∀n ∈ N, 0 < Wn+1 < Wn .

La suite (Wn )n∈N est strictement positive et strictement décroissante.

4) Limite.
1ère idée. On montre « à la main » que lim Wn = 0.
n→ +∞
π
Soit ε > 0. Soit a un réel de ]0, [. Pour tout naturel n, on a
2
Za Z π/2
n π
0 ≤ Wn = sin t dt + sinn t dt ≤ a sinn a + ( − a).
0 a 2
π π ε ε
On choisit alors a dans ]0, [ de sorte que 0 < − a < . Pour tout entier naturel n, on a alors 0 ≤ Wn ≤ a sinn a + .
2 2 2 2
π
Maintenant, puisque a est dans ]0, [, sin a est dans ]0, 1[ et donc lim a sinn a = 0.
2 n→ +∞

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 π ε ε
Il existe ainsi un entier naturel n0 tel que, pour n ≥ n0 , a sinn a <
et donc Wn < + = ε.
2 2 2
On a montré que ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N/ (∀n ∈ N), (n ≥ n0 ⇒ 0 ≤ Wn < ε) et donc

lim Wn = 0.
n→ +∞

2ème idée. On utilise le théorème de convergence dominée pour atteindre le même but.
π π
Pour t ∈ [0, ] et n ∈ N, on pose fn (t) = sinn t (avec la convention usuelle ∀t ∈ [0, ], f0 (t) = 1).
2 2
π
• Chaque fonction fn est intégrable sur le segment [0, ] car continue sur ce segment.
2 
 0 si t < π
π π 2 .
• La suite de fonction fn converge simplement sur [0, ] vers la fonction f définie par : ∀t ∈ [0, ], f(t) = π
2 2  1 si t =
2
π
De plus, f est continue par morceaux sur [0, ].
2
π π
• ∀n ∈ N, ∀t ∈ [0, ], |fn (t)| ≤ 1 = ϕ(t) où ϕ est une fonction continue et intégrable sur [0, ].
2 2
Z π/2
D’après le théorème de convergence dominée, lim Wn = f(t) dt = 0.
n→ +∞ 0

3ème idée. L’équivalent de Wn obtenu en 11) fournit en particulier lim Wn = 0.
n→ +∞

5) Premières valeurs.
Z π/2 Z π/2
π
W0 = dt = et W1 = sin t dt = 1.
0 2 0

π
W0 = et W1 = 1.
2
6) Relation de récurrence.
π
Soit n un entier naturel. Les deux fonctions t 7→ − cos t et t 7→ sinn+1 t sont de classe C1 sur [0, ]. On peut donc effectuer
2
une intégration par parties qui fournit

Z π/2 Z π/2
n+1 n+1
π/2
cos2 t sinn t dt

Wn+2 = sin t sin t dt = − cos t sin t 0
+ (n + 1)
...