Perdre du ventre : Le truc à faire avant de
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Démonstrations capes - Equations différentielles
Structure de l'ensemble des solutions

Soit (E) (E) y ′ (t) + a(t)y(t) = b(t) y ′ (t) + a(t)y(t) = b(t) une équation différentielle linéaire du
premier ordre, avec [Math Processing Error] continues, et notons [Math Processing Error]
l'ensemble de ses solutions. Soit y ′ (t) + a(t)y(t) = 0 y ′ (t) + a(t)y(t) = 0 l'équation homogène
associée et notons [Math Processing Error] l'ensemble de ses solutions. Notons encore [Math
Processing Error] une solution particulière de (E) (E). Alors S E = {y p + y; y ∈ S H }
S E = {y p + y; y ∈ S H}.

Démonstration

Procédons par double inclusion. D'abord, prenons y ∈ S H y ∈ S H et posons z = y p + y
z = y p + y. Alors, pour tout t ∈ I t ∈ I, on a

[Math Processing Error] Ainsi, z ∈ S E z ∈ S E. Réciproquement, soit z ∈ S E z ∈ S E et
posons y = z − y p y = z − y p. Il s'agit de prouver que y ∈ S H y ∈ S H puisque z = y + y p
z = y + y p. Mais le calcul est complètement similaire à celui réalisé ci-dessus :

[Math Processing Error] Ainsi, y ∈ S E y ∈ S E.


Résolution des équations différentielles du premier ordre à coefficients
constants

Soit [Math Processing Error] et considérons l'équation différentielle y ′ + ay = 0y ′ + ay = 0.
Alors les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme y(x) = Ce −ax y(x) = Ce − ax
avec C ∈ ℝ C ∈ R.

Démonstration

Cette démonstration est accessible dès la terminale. On commence par vérifier que les
fonctions y(x) = Ce −ax y(x) = Ce − ax sont effectivement solutions. Réciproquement, soit y
y une solution de l'équation et posons f (x) = y(x)e ax f(x) = y(x)e ax. Alors f f est dérivable
sur ℝ R et pour tout x ∈ ℝx ∈ R, on a

[Math Processing Error] Ainsi, la fonction
[Math Processing Error] est constante et il existe
[Math Processing Error] tel que pour tout
[Math Processing Error], f (x) = C f(x) = C, c'est-à-dire y(x) = Ce −ax. y(x) = Ce − ax.

Remarquons la similarité entre la preuve de cette propriété et la preuve de l'unicité de
la fonction exponentielle.