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Démonstrations capes - Intégration
Théorème fondamental du calcul intégral
Si
[Math Processing Error] est une fonction continue sur un intervalle [a, b] [a, b], et si, pour tout
x ∈ [a, b] x ∈ [a, b], on pose
x

∫a
F(x) = f (t)dt,

x
F(x) = ∫ af(t)dt,
alors
[Math Processing Error] est dérivable sur [a, b] [a, b] et F ′ (x) = f (x)F ′ (x) = f(x) pour tout
x ∈ [a, b] x ∈ [a, b].

Démonstration

Voici la démonstration comme dans un cours de Terminale S, où on suppose en plus que
[Math Processing Error] est positive et croissante : on va calculer le taux d'accroissement
de
[Math Processing Error] en
[Math Processing Error]. Soit h > 0 h > 0. Alors

[Math Processing Error] La fonction f f étant positive, cette dernière intégrale est égale à
l'aire sous la courbe de la fonction f f entre les droites x = x 0 x = x 0 et x = x 0 + h
x = x 0 + h. La fonction
[Math Processing Error] étant croissante, cette aire est plus grande que l'aire du
rectangle délimité par les droites x = x 0 x = x 0, x = x 0 + h x = x 0 + h, y = 0 y = 0 et
y = f (x 0 )y = f(x 0). On a ainsi

[Math Processing Error] On peut aussi majorer l'aire sous la courbe par l'aire d'un autre
rectangle, en remplaçant la droite y = f (x 0 )y = f(x 0) par la droite y = f (x 0 + h)
y = f(x 0 + h). On obtient alors

[Math Processing Error] Finalement, divisant par h > 0 h > 0, on a l'encadrement

F(x 0 + h) − F(x 0 )
f (x 0 ) ≤ ≤ f (x 0 + h).
h
F(x 0 + h) − F(x 0)
f(x 0) ≤ ≤ f(x 0 + h).
h
On fait alors tendre
[Math Processing Error] vers
[Math Processing Error] et on obtient que

F(x 0 + h) − F(x 0 )
lim = f (x 0 )
h→0+ h
F(x 0 + h) − F(x 0)
lim = f(x 0)
h→0+ h

car
[Math Processing Error] est continue en
[Math Processing Error]. On procède de la même façon si h < 0 h < 0 (en faisant
attention au sens des inégalités!).

Si on ne demande plus que f f
soit croissante et positive, il faut savoir écrire avec des quantificateurs que f f
est continue en x 0 x 0
. Précisément, fixons ε > 0 ε > 0
. Il existe δ > 0 δ > 0
tel que, si |x − x 0 | < δ | x − x 0 | < δ
, alors |f (x) − f (x 0 )| < ε | f(x) − f(x 0) | < ε
. Soit hh
tel que |h| < δ | h | < δ
. On écrit que
x0 +h
F(x 0 + h) − F(x 0 ) 1
∫
= f (t)dt
h h x0

F(x 0 + h) − F(x 0) 1 x0 + h
h ∫x0
= f(t)dt
h

soit encore
x0 +h
F(x 0 + h) − F(x 0 ) 1
h ∫x0 (f (t) − f (x0 ))dt.
− f (x 0 ) =
h

F(x 0 + h) − F(x 0) 1 x0 + h
(f(t) − f(x 0) )dt.
h ∫x0
− f(x 0) =
h

Comme |h| < δ | h | < δ
, pour t ∈ [x 0 , x 0 + h]t ∈ [x 0, x 0 + h]
, on a |t − x 0 | < δ | t − x 0 | < δ
et donc |f (t) − f (x 0 )| ≤ ε. | f(t) − f(x 0) | ≤ ε.
On en déduit que
 x0 +h
∣ F(x 0 + h) − F(x 0 ) ∣ 1
∣ h ∫x0
∣ − f (x 0 )∣ ≤ ∣f (t) − f (x 0 )∣ dt
∣ h
x0 +h
1
h ∫x0
≤ εdt

≤ ε.


| F(x 0 + h) − F(x 0)
h |
− f(x 0) ≤
1 x0 + h
h ∫x0 |
f(t) − f(x 0) dt |
1 x0 + h
h ∫x0
≤ εdt

≤ ε.

F(x0 +h)−F(x0 ) F ( x 0 + h ) − F ( x 0 )
Ceci prouve bien (avec des quantificateurs) que h h
tend vers f (x 0 ) f(x 0)
.


Toute fonction continue admet des primitives
Toute fonction continue sur un segment admet des primitives sur ce segment.

Démonstration

En Terminale S, le théorème fondamental du calcul intégral entraîne que toute fonction
continue et positive admet une primitive. Soit maintenant f : [a, b] → ℝ f : [a, b] → R
continue (et plus nécessairement positive). Alors f f
admet un minimum mm
sur l'intervalle [a, b] [a, b]
. Posons g(x) = f (x) − m g(x) = f(x) − m
. Alors gg
est continue et positive sur [a, b] [a, b]
et admet donc une primitive GG
sur [a, b] [a, b]
. Posons alors, pour x ∈ [a, b] x ∈ [a, b]
, F(x) = G(x) + mx F(x) = G(x) + mx
. Alors F F
est dérivable sur [a, b] [a, b]
et pour tout x ∈ [a, b] x ∈ [a, b]
, F ′ (x) = G′ (x) + m = g(x) + m = f (x) F ′ (x) = G ′ (x) + m = g(x) + m = f(x)
. Ainsi, F F
est une primitive de f f
.


Deux primitives diffèrent au plus d'une constante
Soit f : I → ℝf : I → R une fonction continue, avec I I un intervalle, et soit F, G F, G deux
primitives de f f sur I I. Alors il existe C ∈ ℝ C ∈ R tel que, pour tout x ∈ I x ∈ I,
F(x) = G(x) + C F(x) = G(x) + C.
 Démonstration

Si F F
et GG
sont deux primitives de la fonction continue f f
sur un intervalle I I
, alors (F − G)′ = F ′ − G′ = f − f = 0(F − G) ′ = F ′ − G ′ = f − f = 0
. Ainsi, F − G F − G
est une fonction dérivable de dérivée nulle sur [a, b] [a, b]
. Donc il existe C ∈ ℝ C ∈ R
tel que F(x) = G(x) + C F(x) = G(x) + C
pour tout x ∈ I x ∈ I
.



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