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Démonstrations capes - la fonction exponentielle
Dans la suite, la fonction [Math Processing Error] est définie comme une fonction [Math
Processing Error] dérivable, vérifiant f ′ = f f ′ = f et f (0) = 1 f(0) = 1. On ne démontrera pas
l'existence d'une telle fonction, mais on prouvera plus loin son unicité.

La fonction exponentielle ne s'annule pas

Si [Math Processing Error] est dérivable et vérifie f ′ = f f ′ = f, f (0) = 1 f(0) = 1, alors [Math
Processing Error] ne s'annule pas.

Démonstration

Posons, pour tout x ∈ ℝx ∈ R, g(x) = f (x)f (−x)g(x) = f(x)f( − x). Alors
[Math Processing Error] est dérivable sur
[Math Processing Error] et vérifie, pour tout x ∈ ℝx ∈ R,
g′ (x) = f ′ (x)f (−x) − f (x)f ′ (−x) = f (x)f (−x) − f (x)f (−x) = 0
g ′ (x) = f ′ (x)f( − x) − f(x)f ′ ( − x) = f(x)f( − x) − f(x)f( − x) = 0. Ainsi, la fonction
[Math Processing Error] est constante. Puisque g(0) = 1 g(0) = 1, on a pour tout
[Math Processing Error], f (x)f (−x) = 1 f(x)f( − x) = 1 et donc la fonction
[Math Processing Error] ne s'annule pas.


Unicité de la fonction exponentielle

Si [Math Processing Error] sont dérivables et vérifie f ′ = f f ′ = f, g ′ = g g ′ = g et
f (0) = g(0) = 1f(0) = g(0) = 1, alors f = gf = g.

Démonstration

On sait (cf ci-dessus) que la fonction
[Math Processing Error] ne s'annule pas. On peut donc poser, pour tout
g(x) g(x)
[Math Processing Error], h(x) = f (x) h(x) = . Alors
f(x)
[Math Processing Error] est dérivable sur
[Math Processing Error] et on a, pour tout x ∈ ℝx ∈ R,

′ g′ (x)f (x) − g(x)f ′ (x) g(x)f (x) − g(x)f (x)
h (x) = = = 0.
(f (x))2 (f (x))2

g ′ (x)f(x) − g(x)f ′ (x) g(x)f(x) − g(x)f(x)
h ′ (x) = = = 0.
(f(x)) 2 (f(x)) 2

Ainsi, hh
est constante sur ℝ R
 et comme h(0) = 1 h(0) = 1
, on a pour tout x ∈ ℝx ∈ R
, h(x) = 1 h(x) = 1
ce qui prouve bien que f (x) = g(x) f(x) = g(x)
.


Relation fonctionnelle de la fonction exponentielle
Soit x, y ∈ ℝ x, y ∈ R. Alors on a exp(x + y) = exp(x) exp(y) exp(x + y) = exp(x)exp(y).

Démonstration

Fixons y ∈ ℝy ∈ R
et considérons la fonction f f
définie sur ℝ R
par

exp(x + y)
f (x) =
exp(x)
exp(x + y)
f(x) =
exp(x)

(rappelons que la fonction exponentielle ne s'annule pas). Alors f f
est dérivable sur ℝ R
et sa dérivée est

exp(x + y) exp(x) − exp(x + y) exp(x)
f ′ (x) = 2
= 0.
(exp(x))
exp(x + y)exp(x) − exp(x + y)exp(x)
f ′ (x) = = 0.
(exp(x)) 2

Ainsi, f f
est constante sur ℝ R
et puisque f (0) = exp(y)f(0) = exp(y)
, on a pour tout x ∈ ℝx ∈ R
,

exp(x + y)
= exp(y).
exp(x)
exp(x + y)
= exp(y).
exp(x)


Fonction exponentielle et passage à l'inverse
1 1
Pour tout x ∈ ℝx ∈ R, on a exp(−x) = exp(x) exp( − x) = .
exp ( x )

Démonstration
 Posons, pour tout x ∈ ℝx ∈ R
, g(x) = exp(x) exp(−x) g(x) = exp(x)exp( − x)
. Alors gg
est dérivable sur ℝ R
et vérifie, pour tout x ∈ ℝx ∈ R
, g ′ (x) = exp(x) exp(−x) − exp(x) exp(−x) = 0
g ′ (x) = exp(x)exp( − x) − exp(x)exp( − x) = 0
. Ainsi, la fonction gg
est constante. Puisque g(0) = 1 g(0) = 1
, on a pour tout x ∈ ℝx ∈ R
, exp(x) exp(−x) = 1 exp(x)exp( − x) = 1
ce qui est le résultat voulu.

On peut aussi utiliser la relation fonctionnelle et écrire que

exp(x) exp(−x) = exp(x − x) = exp(0) = 1.
exp(x)exp( − x) = exp(x − x) = exp(0) = 1.


La fonction exponentielle est toujours strictement positive
Pour tout x ∈ ℝx ∈ R, on a exp(x) > 0 exp(x) > 0.

Démonstration

Preuve 1 : A partir de la relation fonctionnelle

Soit x ∈ ℝx ∈ R
. On sait que

x x x
exp(x) = exp( + ) = (exp( )) ≥ 0.
2

2 2 2

exp(x) = exp( ) ( ( ))
x x
+
2 2
= exp
x
2
2
≥ 0.


Comme la fonction exponentielle ne s'annule pas, elle est forcément strictement
positive.

Preuve 2 : A partir du théorème des valeurs intermédiaires

Supposons qu'il existe a ∈ ℝ a ∈ R
tel que exp(a) ≤ 0 exp(a) ≤ 0
. Puisque exp(0) = 1 > 0 exp(0) = 1 > 0
et que la fonction exponentielle est continue, il existerait d'après le théorème des
valeurs intermédiaires un réel c c
tel que exp(c) = 0 exp(c) = 0
. Ce n'est pas le cas puisque la fonction exponentielle ne s'annule pas. L'hypothèse de
départ était donc fausse, et pour tout a ∈ ℝ a ∈ R
, on a bien exp(a) > 0 exp(a) > 0
.
Limites de la fonction exponentielle
On a lim x→+∞ exp(x) = +∞ lim x → + ∞exp(x) = + ∞ et lim x→−∞ exp(x) = 0
lim x → − ∞exp(x) = 0.

Démonstration

On va prouver que, pour tout x ∈ ℝx ∈ R
, exp(x) ≥ 1 + x exp(x) ≥ 1 + x
. Pour cela, on pose, pour x ∈ ℝx ∈ R
,

f (x) = exp(x) − (x + 1).
f(x) = exp(x) − (x + 1).

La fonction f f
est dérivable sur ℝ R
et sa dérivée vérifie, pour tout x ∈ ℝx ∈ R
, f ′ (x) = exp(x) − 1 f ′ (x) = exp(x) − 1
. Puisque la fonction exp exp
est croissante et qu'elle vérifie exp(0) = 1 exp(0) = 1
, on sait que exp(x) ≥ 1 exp(x) ≥ 1
si x ≥ 0 x ≥ 0
et que exp(x) ≤ 1 exp(x) ≤ 1
si x ≤ 0 x ≤ 0
. Ainsi, f ′ (x) ≥ 0f ′ (x) ≥ 0
si x ≥ 0 x ≥ 0
et f ′ (x) ≤ 0f ′ (x) ≤ 0
si x ≤ 0 x ≤ 0
. On en déduit que f f
est décroissante sur ]−∞, 0[ ] − ∞, 0[
et croissante sur ]0, +∞[ ]0, + ∞[
. Puisque f (0) = 0 f(0) = 0
, on en conclut que f (x) ≥ 0 f(x) ≥ 0
pour tout x ∈ ℝx ∈ R
, c'est-à-dire exp(x) ≥ 1 + x exp(x) ≥ 1 + x
. Puisque lim x→+∞ 1 + x = +∞ lim x → + ∞1 + x = + ∞
, on a par comparaison que lim x→+∞ exp(x) = +∞ lim x → + ∞exp(x) = + ∞
.

D'autre part, écrivant

1
exp(x) =
exp(−x)
1
exp(x) =
exp( − x)

et puisque lim x→−∞ exp(−x) = lim u→+∞ exp(u) = +∞
lim x → − ∞exp( − x) = lim u → + ∞exp(u) = + ∞
, on en déduit le deuxième résultat.
Croissance comparée de la fonction exponentielle et des fonctions puissance
Pour tout n ∈ ℕn ∈ N
, on a

ex
lim n = +∞ et lim x n e x = 0.
x→+∞ x x→−∞

ex
lim = + ∞ et lim x ne x = 0.
n
x→ +∞x x→ −∞



Démonstration

Il y a de nombreuses façons de démontrer la première propriété. On peut par exemple
commencer par démontrer que le résultat est vrai pour n = 1 n = 1
et utiliser la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle pour en déduire le
résultat...