Etude de la fonction ζ de Riemann

1) Définition
1
Pour x réel donné, la série de terme général , n ≥ 1, converge si et seulement si x > 1.
nx

La fonction zeta de Riemann est la fonction définie sur ]1, +∞[ par :
+∞
X 1
(∀x > 1), ζ(x) = .
nx
n=1

   
 1   1  1
Remarque. Pour z complexe et n naturel non nul donnés,  z  =  nRe(z) eiIm(z) ln n  = nRe(z) . Par suite, la série de
 
n
1
terme général z converge absolument si et seulement si Re(z) > 1.
n
+∞
X (−1)n−1
2) La fonction f : x 7→ f(x) =
nx
n=1

(−1)n−1
Pour x réel et n entier naturel non nul donnés, posons un (x) = .
nx
• Si x ≤ 0, la suite (un (x))n≥1 ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞ et la série de terme général un (x)
diverge grossièrement.
• Si x > 0, la suite ((−1)n−1 un (x))n≥1 est de signe constant et tend vers 0 en décroissant. La série de terme général
un (x) converge donc en vertu du critère spécial aux séries alternées.

(−1)n−1
La série de terme général , n ≥ 1, converge si et seulement si x > 0.
nx

3) Une relation entre ζ et f.
Soit x un réel strictement supérieur à 1. ζ(x) et f(x) existent et
+∞ +∞ +∞
X 1 − (−1)n−1 X 1 − (−1)2p−1 2 X 1
ζ(x) − f(x) = = = = x = 21−x ζ(x).
nx (2p)x 2 px
n=1 p=1 p=1


Donc, f(x) = (1 − 21−x )ζ(x) ou encore

1
(∀x > 1), ζ(x) = f(x).
1 − 21−x

4) Continuité de ζ sur ]1, +∞[.
Soit a un réel strictement supérieur à 1 donné.  
1  = 1 ≤ 1
 1 
Pour n ≥ 1 donné, la fonction x 7→ x est continue sur [a, +∞[. De plus , pour tout réel x de [a, +∞[,  nx  nx
n na
avec égalité pour x = a ou encore
 
 1  1
sup  x  , x ∈ [a, +∞[ = a .
 
n n

1
Puisque la série numérique de terme général a converge (série de Riemann d’exposant a > 1), la série de fonctions de
n
1
terme général x 7→ x , n ≥ 1, est normalement convergente et donc uniformément convergente sur [a, +∞[. La somme
n
ζ est donc continue sur [a, +∞[ en tant que limite uniforme sur [a, +∞[ d’une suite de fonctions continues sur [a, +∞[.
Ceci étant vrai pour tout réel a de ]1, +∞[, on a montré que

la fonction ζ est continue sur ]1, +∞[.
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5) Continuité de f sur ]0, +∞[.
L’égalité du 3) et la continuité de ζ sur ]1, +∞[ montre déjà que f est continue sur ]1, +∞[. Montrons que f est continue
sur ]0, +∞[.
Soit a un réel strictement positif donné. Pour x réel supérieur ou égal à a et n entier naturel non nul donnés, posons
n +∞
X (−1)p X (−1)p
Rn (x) = f(x) − = .
px px
p=1 p=n+1

(−1)p
On rappelle que la série de terme général est alternée et d ?après une majoration classique du reste d ?ordre n
px
d ?une série alternée (à savoir que la valeur absolue du reste est majorée par la valeur absolue de son premier terme) on a
 (−1)n−1 
 
1 1
|Rn (x)| ≤ 

x
=
x
≤ .
(n + 1)  (n + 1) (n + 1)a

Donc, la fonction Rn est bornée sur [a, +∞[ et pour tout naturel non nul n,
1
sup{|Rn (x)|, x ∈ [a, +∞[} ≤ .
(n + 1)a

Comme a > 0, on a donc lim sup{|Rn (x)|, x ∈ [a, +∞[}0. On a ainsi montré que la série de fonctions de terme général
n→ +∞
(−1)n−1
x 7→ , n ≥ 1, est uniformément convergente sur [a, +∞[. Comme chacune de ces fonctions est continue sur
nx
[a, +∞[, la somme f est continue sur [a, +∞[. Ceci étant vrai pour tout réel a de ]0, +∞[, on a montré que

f est continue sur ]0, +∞[.


6) Sens de variation de la fonction ζ.
1
Chacune des fonctions x 7→ est décroissante sur ]1, +∞[. Donc, la fonction ζ est décroissante sur ]1, +∞[ en tant que
nx
somme de fonctions décroissantes sur ]1 + ∞[.

La fonction ζ est décroissante sur ]1, +∞[.


7) Convexité de la fonction ζ.
1 1
Chacune des fonctions x 7→ x
est convexe sur ]1, +∞[ (en effet, pour n entier naturel non nul donné, la fonction x 7→ x
n   ′′ n
1 (− ln n)2
est deux fois dérivable sur ]1, +∞[ et de plus = ≥ 0). Donc ζ est convexe sur ]1, +∞[ en tant que somme
nx nx
de fonctions convexes sur ]1, +∞[.

ζ est convexe sur ]1, +∞[.


Remarque. On sait qu’une fonction convexe sur un intervalle ouvert est continue sur cet intervalle et on retrouve la
continuité de ζ sans recours à une convergence uniforme.
8) Etude de la fonction ζ au voisinage de +∞.
a) Limite de ζ(x) quand x tend vers +∞. D’après 4), la série de fonctions de somme ζ converge uniformément vers
1
ζ sur [2, +∞[. De plus, chacune des fonctions x 7→ x admet une limite réelle quand x tend vers +∞ à savoir
n

1 1 si n = 1
lim = .
x→ +∞ nx 0 si n ≥ 2

Le théorème d’interversion des limites permet alors d’affirmer que la fonction ζ a une limite réelle quand x tend vers +∞
et que
+∞
...