Intégrale de Gauss

1) Définition et existence.
2 1 2
La fonction x 7→ e−x est continue sur [0, +∞[ et négligeable devant en +∞. On en déduit que la fonction x 7→ e−x
x2
est intégrable sur [0, +∞[. Donc
Z +∞
2
l’intégrale e−x dx existe et s’appelle l’intégrale de Gauss.
0
Z +∞
2
2) Calcul de e−x dx.
0
Z +∞ ZR
−x2 −x2 2
a) Premier calcul. Puisque la fonction x 7→ e est intégrable sur [0, +∞[, e dx = lim e−x dx.
0 R→ +∞ 0
ZR
2
Pour R réel strictement positif donné, on pose I(R) = e−x dx. On a
0

ZR !2 ZR ! Z !
R RR
−x2 −x2 −y2 2
+y2 )
(I(R))2 = e dx = e dx e dy = e−(x dxdy (intégrales indépendantes).
0 0 0 (x;y)∈[0,R]2

Le terme x2 + y2 invite à passer en polaires mais le domaine d’intégration n’est pas parfaitement adapté à ce changement
de variables.

√
R 2



R




√
R R 2
La fonction à intégrer est positive √
et, dans le but d ?encadrer I(R), on encadre le domaine d’intégration entre les deux
2 2 2 2
√ 2) où D(R) = {(x, y) ∈ R / 0 ≤ x, 0 ≤ y, x + y ≤ R }.
quarts de disque noté D(R) et D(R
2
On a bien D(R) ⊂ [0, R] ⊂ D(R 2) car
(x, y) ∈ D(R) ⇒ 0 ≤ x, 0 ≤ y, x2 + y2 ≤ R2 ⇒ 0 ≤ x ≤ R et 0 ≤ y ≤ R,

et de même
(x, y) ∈ [0, R]2 ⇒ 0 ≤ x ≤ R et 0 ≤ y ≤ R ⇒ 0 ≤ x, 0 ≤ y et x2 + y2 ≤ R2 + R2 = 2R2 .
Par positivité de l’intégrale et additivité par rapport au domaine d’intégration, on obtient
RR −(x2 +y2 ) RR −(x2 +y2 ) RR 2 2
e dxdy ≤ e dxdy ≤ e−(x +y ) dxdy.
√
D(R) [0,R]2 D(R 2)
RR 2
+y2 )
Pour R > 0, posons alors J(R) = e−(x dxdy. En passant en polaires, on obtient
D(R)

ZZ ZZ Z π/2 ! Z
R
!
−(x2 +y2 ) −r2
J(R) = e dxdy = e rdrdθ = dθ r dr (intégrales indépendantes)
0 0
D(R) r∈[0,R],θ∈[0, π
2]
 R
π 1 2 π 2
= × − e−r = (1 − e−R ).
2 2 0 4
http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.

 √ √ π 2 π
Puis en remplaçant R par R 2, on obtient J(R 2) = (1 − e−2R ). L’encadrement obtenu plus haut s’écrit alors (1 −
4 4
2 π 2
e−R ) ≤ (I(R))2 ≤ (1 − e−2R ) ou encore, puisque I(R) est positif,
4
√ p ZR √ p
π 2 π
∀R > 0, 1 − e−R2 ≤ e−x dx ≤ 1 − e−2R2 .
2 0 2

Quand R tend vers +∞, on obtient en particulier la valeur de l’intégrale de Gauss
Z +∞ √ Z +∞
−x2 π 2 √
e dx = et par parité e−x dx = π.
0 2 −∞

Remarque. On peut directement passer en polaires dans (I(R))2 pour obtenir

ZZ ZZ Z π/4 Z R/ cos θ !
2 −(x2 +y2 ) −(x2 +y2 ) −r2
(I(R)) = e dxdy = 2 e dxdy = 2 e r dr dθ
0 0
[0,R]2 0≤x≤y≤R
Z π/4   Z π/4  Z π/4
1 2 2
/ cos2 θ
 π 2
/ cos2 θ
=2 − e−r R/ cos θdθ = 1 − e−R dθ = − e−R dθ.
0 2 0 0 4 0

Donc
s
ZR Z π/4
−x 2 π 2
/ cos2 θ
∀R > 0, e dx = − e−R dθ.
0 4 0

Z π/4
s
...