La série harmonique

Pour n naturel non nul , on pose
n
X 1
Hn = .
k
k=1


1) Hn tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Pour n > 1,
1
Hn+1 − Hn = > 0.
n+1
Donc la suite (Hn )n∈N∗ est strictement croissante et admet ainsi une limite dans ] − ∞, +∞]. Ensuite, pour n > 1,
2n
X 2n
X
1 1 1 1
H2n − Hn = > =n× = .
k 2n 2n 2
k=n+1 k=n+1

Si la suite (Hn )n∈N∗ converge vers un certain réel ℓ, alors H2n − Hn tend vers ℓ − ℓ = 0, ce qui contredit le fait que, pour
1
tout n > 1, H2n − Hn > . Donc,
2
lim Hn = +∞,
n→+∞

ou encore, la série harmonique diverge.

2) Equivalent de Hn quand n tend vers +∞
1
Soit n > 2. La fonction t 7→ est continue et décroissante sur ]0, +∞[. On en déduit que
t
Z k+1 Zk
1 1 1 1
pour k > 1, > dt et pour k > 2, 6 dt.
k k t k k−1 t

En sommant ces inégalités, on obtient
n
X n Z k+1
X Z n+1 n
X n
X n Zk
X Zn
1 1 1 1 1 1 1
> dt = dt = ln(n + 1) et =1+ 61+ dt = 1 + dt = 1 + ln n.
k k t 1 t k k k−1 t 1 t
k=1 k=1 k=1 k=2 k=2

Ces inégalités restent vraies pour n = 1 et donc

∀n > 1, ln(n + 1) 6 Hn 6 1 + ln n.

ln(n + 1) Hn 1 Hn
On en déduit encore que pour n > 2, 6 6 1+ . Le théorème des gendarmes montre que tend
ln(n) ln(n) ln(n) ln(n)
vers 1 quand n tend vers +∞ et donc

Hn ∼ ln n.
n→+∞


3) Convergence de la suite (Hn − ln n)n∈N∗ .
Pour n > 1, posons un = Hn − ln n.
1ère étude. Soit n > 1.
Z n+1 Z n+1  
1 1 1 1 1
un+1 − un = − (ln(n + 1) − ln n) = − dt = − dt.
n+1 n+1 n t n n+1 t
1 1 1
Or la fonction t 7→ est décroissante sur ]0, +∞[ et donc sur [n, n + 1]. Par suite, pour t ∈ [n, n + 1], − 6 0. Par
t n+1 t
croissance de l’intégrale, on en déduit que un+1 − un 6 0. La suite (un )n∈N∗ est donc décroissante.

1
De plus , d’après 2), pour n > 1,
0 6 ln(n + 1) − ln n 6 Hn − ln n = un 6 (1 + ln n) − ln n = 1,
et donc, pour n > 1, un ∈ [0, 1]. Ainsi, la suite (un ) est décroissante et minorée par 0 et donc converge vers un certain
réel positif noté γ. Enfin, puisque ∀n ∈ N∗ , 0 6 un 6 1, par passage à la limite, on a γ ∈ [0, 1].
la suite (Hn − ln n)n∈N∗ converge vers un réel de [0, 1] noté γ. γ s’appelle la constante d’Euler.
2ème étude. Pour n > 1, on pose aussi vn = Hn − ln(n + 1). On a
Z n+1  
1 1
• pour n > 1, un+1 − un = −(ln(n + 1) − ln n) = − dt 6 0. La suite (un )n∈N∗ est décroissante.
n  n+1 t
Z n+2 
1 1 1
• vn+1 − vn = − (ln(n + 2) − ln(n + 1)) = − dt > 0. La suite (vn )n∈N∗ est croissante.
n+1   n+1 n + 1 t
1
• un − vn = ln(n + 1) − ln n = ln 1 + et lim (un − vn ) = 0.
n n→+∞

n
!
X 1
∗
Donc, les suites (un )n∈N∗ et (vn )n ∈ N sont adjacentes. On en déduit que les suite − ln n et
k
! k=1 n∈N ∗

Xn
1
− ln(n + 1) sont adjacentes et convergent donc vers une limite commune à savoir γ, la constante d’Euler.
k
k=1 n∈N
∗

En particulier, puisque la suite (un )n∈N∗ décroit vers γ et que la suite (vn )n∈N∗ croit vers γ, on a
n
! n
!
X 1 X 1
∀n > 1, − ln(n + 1) 6 γ 6 − ln n.
k k
k=1 k=1

3ème étude. Quand n tend vers +∞,
         
1 1 1 1 1 1 1
un+1 − un = − ln 1 + = +O − +O =O .
n+1 n n n2 n n2 n2
Donc, la série de terme général un+1 − un converge. Maintenant, on sait que la suite (un )n∈N∗ est de même nature que
la série de terme général un+1 − un . On retrouve ainsi la convergence de la suite (un )n∈N∗ .
n−1
X n−1
X 1  Xn  
k+1 1 k
Comme un = u1 + (uk+1 − uk ) = 1 + − ln =1+ − ln , quand n tend vers +∞, on
k+1 k k k−1
k=1 k=1 k=2
+∞ 
X 
1 n
obtient γ = 1 + − ln . En résumé
n n−1
n=2

+∞ 
X 
1 n
Hn = ln n + γ + o(1) où γ = 1 + − ln .
n→+∞ n n−1
n=2


4) Valeurs approchées de γ.
 
1
On a vu précédemment que pour n > 1, vn 6 γ 6 un avec un − vn = ln 1 + et donc
...