Polynômes de Tchebychev

Pafnoutïi Lvovitch Tchebychev, mathématicien russe , est né à Borovsk en 1821 et mort à Saint-Pétersbourg en 1894.

1) Définition et existence
a) Polynômes de Tchebychev de 1ère espèce : Tn .
Soit n un entier naturel. Il existe un et un seul polynôme noté Tn tel que

∀θ ∈ R, Tn (cos θ) = cos(nθ).

Unicité. Tn est déterminé sur [−1, 1] qui est infini et donc uniquement déterminé.
Existence. Soient n un entier naturel et θ un réel.

n
!
X
inθ n
cos(nθ) = Re(e ) = Re((cos θ + i sin θ) ) = Re Ckn (cos θ)n−k (i sin θ)k
k=0
E(n/2) E(n/2)
X X
= (−1)p C2p
n (cos θ)
n−2p
(sin θ)2p = (−1)p C2p
n (cos θ)
n−2p
(1 − cos2 θ)p
p=0 p=0

E(n/2)
X
et le polynôme (−1)p C2p
n X
n−2p
(1 − X2 )p convient.
p=0

E(n/2)
X
∀n ∈ N, Tn = (−1)p C2p
n X
n−2p
(1 − X2 )p .
p=0

b) Polynômes de Tchebychev de 2ème espèce : Un .
Soit n un entier naturel non nul. Il existe un et un seul polynôme noté Un tel que

∀θ ∈ R, sin θ × Un (cos θ) = sin(nθ).

Unicité. Un est déterminé sur ] − 1, 1[ qui est infini et donc uniquement déterminé.
Existence. Soient n un entier naturel et θ un réel.

n
!
X
inθ n
sin(nθ) = Im(e ) = Im((cos θ + i sin θ) ) = Im Ckn (cos θ)n−k (i sin θ)k
k=0
E((n−1)/2) E((n−1)/2)
X X
= (−1)p Cn
2p+1
(cos θ)n−(2p+1) (sin θ)2p+1 = sin θ (−1)p Cn
2p+1
(cos θ)n−2p−1 (1 − cos2 θ)p
p=0 p=0

E((n−1)/2)
X
et le polynôme (−1)p Cn
2p+1 n−2p−1
X (1 − X2 )p convient.
p=0

E((n−1)/2)
X
∀n ∈ N∗ , Un = (−1)p Cn
2p+1 n−2p−1
X (1 − X2 )p .
p=0


2) Relation entre Tn et Un
Soit n un entier naturel non nul. Pour tout réel θ, on a Tn (cos θ) = cos(nθ). En dérivant cette relation, pour tout réel θ
on obtient

− sin θTn′ (cos θ) = −n sin(nθ),




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ou encore
 ′
1
∀θ ∈ R, sin θ Tn (cos θ) = sin(nθ).
n

Par unicité de Un , on a donc
1 ′
∀n ∈ N∗ , Un = T .
n n
3) Relation de récurrence
Pour tout réel θ et tout entier naturel n, on a

cos(nθ) + cos((n + 2)θ) = 2 cos θ cos((n + 1)θ),

ce qui fournit encore

∀θ ∈ R, Tn (cos θ) + Tn+2 (cos θ) = 2 cos θTn+1 (cos θ).

ou enfin

∀x ∈ [−1, 1], Tn (x) + Tn+2 (x) = 2xTn+1 (x).

Ainsi, les polynômes Tn + Tn+2 et 2XTn+1 coïncident en une infinité de valeurs et sont donc égaux.

∀n ∈ N, Tn+2 − 2XTn+1 + Tn = 0.

4) Premières expressions de Tn et Un
A partir de la relation de récurrence ou à partir de l’expression de Tn du 1)a) ou encore en calculant directement cos(2θ),
cos(3θ), . . . , on obtient :

T0 = 1, T1 = X, T2 = 2X2 − 1, T3 = 4X3 − 3X, T4 = 8X4 − 8X2 + 1 et T5 = 16X5 − 20X3 + 5X.
1 ′
De même, à partir de l’égalité Un = T , on obtient
n n
U1 = 1, U2 = 2X, U3 = 4X2 − 1, U4 = 8X3 − 6X et U5 = 16X4 − 12X2 + 1.

5) Graphes des premiers Tn

T0
b
1 b
T1




−1 1
T3
T2




b
−1




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6) Degré, coefficient dominant
1 ère solution. Soit n ∈ N∗ . On rappelle que
E(n/2)
X
Tn = (−1)p C2p
n X
n−2p
(1 − X2 )p .
p=0

n
Puisque pour tout entier naturel p ∈ J0, E( )K, on a n − 2p + 2p = n, Tn est un polynôme de degré inférieur ou égal à n.
2
De plus, le coefficient de Xn dans Tn vaut

1 1
C0n + C2n + C4n + . . . = ((C0n + C1n + C2n + C3n + . . .) + (C0n − C1n + C2n − C3n + . . .)) = ((1 + 1)n + (1 − 1)n )
2 2
1 n
= (2 + 0) ((1 − 1)n = 0 car n ≥ 1)
2
= 2n−1 .

2 ème solution. Montrons par récurrence que ∀n ∈ N∗ , deg(Tn ) = n et dom(Tn ) = 2n−1 .
• On a déjà deg(T1 ) = 1, deg(T2 ) = 2, dom(T1 ) = 1 = 21−1 et dom(T2 ) = 2 = 22−1 . Le résultat est donc vrai
pour n = 1 et n = 2.
• Soit n ≥ 1. Supposon...