Formulaire d'aide à la résolution
des problèmes de calcul
topométrique
Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe &
BEP Topographie




Baccalauréat professionnel Technicien Géomètre Topographe Page 1 sur 13

- Version 2013 -
 Sommaire



1 - Triangle quelconque
2 - Triangles semblables
3 - Triangle rectangle
4 - Trapèze
5 - Polygone de n côtés
6 - Raccordements circulaires
7 - Secteur circulaire
8 - Transformations de coordonnées
9 - Intersection de deux droites
10- Intersection de deux cercles
11- Intersection droite - cercle
12 - Nivellement indirect
13- Corrections des distances
14- Correction de niveau apparent
15- Relèvement sur 3 points : méthode du barycentre
16- Relèvement sur 3 points : méthode de Delamb re
17- Changement de base




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Conventions relatives aux travaux topographiques

Unités en vigueur :
- distance en mètre (m)
- angle en grades (gon)


Systèmes de coordonnées géographiques
Longitude, latitude, h


Systèmes de coordonnées planimétriques
- Coordonnées locales : x, y, Altitude (H)
ou Hauteur (h)
- Coordonnées Lambert 93 : e, n, Altitude(H)
- Coordonnées RGF 93 CC (9 zones) : E, N, Altitude(H)


Systèmes de coordonnées géocentriques X, Y, Z


Systèmes de coordonnées altimétriques (altitude normale)
- NGF-IGN 69 (NGF-IGN 78 pour la Corse)


Rayon de la terre : 6370 km


Terminologie usitée :

- ht = hauteur des tourillons
- hp = hauteur de prisme = hv (voyant) ou hr (réflecteur)



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 croquis - schémas formules
1-Triangle quelconque Relation des sinus
a / sin A = b / sin B = c / sin C

Relation des cosinus
A
a 2 = b 2 + c2 - 2 b . c . cos A

2 2 2
b = a + c - 2 a . c . cos B
b
2 2 2
c c = a + b - 2 a . b . cos C
h
Superficie
S = 1/ 2 (a . b . sin C)
n m S = 1/ 2 (a . c . sin B)
B C S = 1/ 2 (b . c . sin A)
a
2
S = (a . sin B . sin C) / 2 sin A

a vec p = 1/2 péri mètre
S = √[ p . (p-a) . (p-b) . (p-c)]
tan A/2 = √ [(p-b) . (p-c) / p . (p-a)]

n = (c2 +a 2 - b 2 )/ 2a
h 2 = c2 – n 2 =b 2 – m 2



2-Triangles semblables Théorème de Thalès


A



S AMN = S ABC . k 2


M N


B C



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3-Triangle rectangle
sin B = côté opposé /hypoténuse = b/a
B
cos B = côté adja cent/hypoténuse = c/a

a tan B = côté opposé /côté adja cent = b/c
c
BA2 +AC2 = BC2

A C Superficie
b
S = 1/2 ( b . c)

4-Trapèze
P
S 1 = superfi cie MJKQ
N
JK2 = MQ2– 2S 1 (1/tan Q –1/tan M)
QK = 2S 1 / (MQ + JK). sin Q
J K JM = 2S 1 / (MQ + JK). sin M

S1

M Q

5-Polygone de n cotés


Somme des angles intérieurs
Σ = (n – 2) . 200
B C
Somme des angles extérieurs
Σ = (n + 2) . 200
A
D
Superficie

2S =
F
E
G
2S =




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6-Raccordements cir culaires

S

Péri mètre du cercle= 2.π. r

Superfi cie du cercle = π.r2
T2
M

Longueur de la corde T 1T2 = 2.r.sin (β/2)
H  r Longueur de l ’a rc = T1T2 = 2.π. r. β /400
Longueur de la flèche MH = r – [r.cos (β/2)]
T1
0 Longueur de la tangente
ST1 = ST2 = r . tan(β/2)




7-Secteur circulaire

Segment T2 Triangle: S = ½ . r2. sin


Secteur: S π. r2. β/400

r

Segment: S Secteur – S triangle
T1
0


Triangle




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8-Transformations de coordonnées xB – xA = DAB .sin G AB
yB – yA = D AB .cos G AB

y D AB = √ [(xB – xA) 2 + (yB – yA ) 2]
G AB
yB B Gisement AB

tan G‘ = (xB– xA )/ (yB – yA )
yA
A tan G’ = I∆xI /I∆yI

on obtient G’ avec son signe

O xA xB x si ∆x ≥0 et ∆y≥0 GAB = G’
si ∆x ≥0 et ∆y≤0 GAB = 200-G’
si ∆x ≤0 et ∆y≤0 GAB = 200+G’
si ∆x ≤0 et ∆y≥0 GAB = 400-G’




9-Intersection de deux droites
1ère méthode :
G AB et D AB pa r (x,y)
résolution du triangle AMB
angle A = G AB– G AM
M angle B = G BM - G BA
D AM et D BM
G AM
Cal cul des (x,y) de M depuis A
Contrôle : (x,y) de M depuis B
A
2ème méthode : (formule de Delambre)
depuis A
y (xA – xB) – (yA – yB) . tan G BM
G BM B yM – yA = ------------------------------
tan G BM - ta n GAM
O x
xM – xA = (yM – yA ) . tan GAM

Contrôle: i dem depuis B



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10-Intersection de deux cercles

M
cal cul de G O1-O2 et D O1-02 pa r (x,y)
r1
résolution du triangle O 1O2M
r2
cal cul de G O1-M puis xM et yM pa r rapport à O1
O1


Contrôle :
O2 cal cul de G O2-M
y puis calcul de xM et yM pa r rapport à O2


O x




11-Intersection droite - cercle
G AO et D AO pa r (x,y)
M

résolution du triangle AOM1
M2
OM1 = r = ra yon
Cal cul angle A, angle M1, angle O
M1 r Dis tance AM1
G AM
 Cal cul des (x,y) de M1 depuis A
0
A Contrôle :
y Cal cul des (x,y) de M1 depuis O

O x


idem pour le triangle AOM2




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12-Nivellement indirect
Dh = (Di ² - Δhi²)
Di hp Déni velée ins trumentale Δhi
V
Dhi
Δhi = Di . cos V
Dh P Δhi = Dh / tan V
ht
Dh= Di . sin V

S H P = HS + ht + Δhi - hp
13- Corrections des distances

Pour obtenir une distance, il conviendra Calcul du module
d’apporter aux mesures de longueurs les
corrections suivantes : On fixe pour une zone de travail un module m
1- constante de prisme (donnée tenant compte de la hauteur moyenne au dessus
constructeur) de l’ellipsoïde et de la position planimétrique d'un
2- correction atmosphérique - ca- point central du canevas pour déterminer les
obtenue par lecture sur un abaque (saisie sur le coefficients k0 et kr.
terrain au moment des mesures) Coefficient de réduction à l’ellipsoïde
3- correction de pente - cp-
Dh= Di.sin V
4- correction de réduction à l’ellipsoïde - Coefficient d’altération linéaire :
co- kr lu à l’aide du logiciel CIRCE
On déduit un module m par lequel sont
multipliées toutes les distances "terrain"
5- correction de représentation plane préalablement réduites à l'horizontale.
ou de projection - cr ou cl –
cette correction varie en fonction de la situation
géographique du chantier, elle est obtenue sur
Distance réduite à la projection
« CIRCE ».
Drm = Dhm . mm/km


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 croquis - schémas formules
14- Correction de niveau apparent
Cette correction es t à a jouter à la déni velée.
Pour des portées supérieures à 300m, il es t
nécessaire de prendre en compte deux On utilise généralement l’expression
erreurs s ys tématiques : l ’erreur due à la simplifiée suivante :
sphéri ci té de la terres tre et l’erreur due à la
réfra ction a tmosphérique.

Ces erreurs de sphéri ci té et de réfra ction
Avec Cna en mètre, et Dh en km
sont généralement associées en une seule
erreur nommée erreur de ni veau appa rent.

La correction globale est appelée correction
de niveau apparent Cna.




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15-Relèvement sur 3 points:
méthode du barycentre S es t inconnu et s ta tionné
B
A, B et C sont trois points connus

α + β + γ = 400 gon et A + B + C = 200 gon

c a ma = 1 / (cotan A – cotan α)
α mb = 1 / (cotan B – cotan β)
γ
mc = 1 / (cotan C – cotan γ)
S
β ma . xA + mb. xB + mc. xC
xS = ------------------------------------
ma + mb + mc
A b C
ma .yA + mb. yB + mc. yC
yS = -----------------------------------
ma + mb + mc

rappel : cotan A = 1/ tanA

16-Relèvement sur 3 points:
méthode de Delambre


M es t inconnu et s ta tionné

G AM A, B et C sont trois points connus
A
α


M
G BM = GAM + α
G CM β
G BM


C B




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17- Changement de base : Eléments connus :
passer d’un système particulier (ou système local)
- Les coordonnées x et y des poi nts A et B
à un système général
sont connues dans le système local
C
- Les coordonnées E et N des poi nts o’ et A

D sont connues dans le système général.
N

NB B - Le gisement de l ’a xe O’x connu
E
dans le système général : G O'x = G AB
y

x - gAB + 100
yB
NA xB
A Eléments cherchés :
yA
G o’x xA EB = EA + x . sin G o'x – y . cos G o'x
No ’
A O’ EB = EA + x . cos G o'x + y . sin G o'x

Soit pour un cas général

O En = E(n-1) + x . sin G o'x – y . cos G o'x
Eo’ EA EB E
Nn = N(n-1) + x . cos G o'x + y . sin G o'x

Avec sur le schéma : a vec  x = xn – x(n-1) et  y = yn – y(n-1)

EON = système général
xO’y = système local - Le gisement de l ’a xe O’y connu
xA et yA = coordonnées dans le système local dans le système général : G O'y = GAB
EA et NA = coordonnées dans le système général
GAB = gisement dans le système général - gAB
gab = gisement dans le système local
En = E(n-1) + x . cos G o'y + y . sin G o'y

Nn = N(n-1) + y . cos G o'y - x . sin G o'y




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 Ce formulaire a été élaboré
par les professeurs
permanents de la commission
de sujet du bac pro TGT. Il
peut être utilisé dans le cadre
de la formation. Il est mis à
disposition des concepteurs
de sujet qui l’utiliseront
comme ressource.




Pour toute r emarque ou suggestion,
contact :formulairebacprotopo@gmail.com
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