Cours de TS 2 IRIS TS-2-IRIS.tex


II Suites, S´
eries Num´
eriques




1) D´
efinition des Suites
!
N −→ R
a) Suite (un ) de terme g´en´eral un Application
n #−→ un = f (n)

b) Suite (un ) croissante ∀n un+1 > un

c) Limite de la suite (un ) un → λ signifie lim un = λ
n→+∞


d) Suites (un ) et (vn ) adjacentes un % vn & ∀n u n < vn et (un − vn ) → 0




2) Suites r´
ecurrentes
!
u0 donn´e
a) D´efinition
un = f (un−1 )
!
u0 = a
b) Suites arithm´etiques un = n × r + a
un = r + un−1
!
u0 = a
c) Suites g´eom´etriques un = q n a
un = q × un−1




3) D´
efinition des S´
eries
" n
$
#
a) S´erie {un } ou Σ un {un } = u n ; Sn = un
k=1


b) Convergence ou Divergence d’une S´erie Σ un → λ signifie lim Sn = λ
n→+∞
Si λ ∈ R la s´erie Σ un est CV Si λ est infini ou n’existe pas, la s´erie Σ un est DV

(n + 1)(2a + nr)
c) S´erie arithm´etiques Sn = a + (a + r) + (a + 2r) + . . . + (a + nr) =
2

1 − q n+1
d) S´erie g´eom´etriques Sn = a + a q + a q 2 + . . . + a q n = a
1−q
a
– si |q| < 1 alors Σ un est CV Σ un →
1−q
– si |q| ! 1 alors Σ un est DV

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4) Crit`
eres de convergence
a) Comparaison `a une s´erie g´eom´etrique Si un ∼ K q n
+∞
- si |q| < 1 alors Σ un est CV si |q| ! 1 alors Σ un est DV

K
b) Comparaison `a une s´erie de Riemann Si un ∼
+∞ nα
- si α > 1 alors Σ un est CV - si α " 1 alors Σ un est DV
un+1
c) Crit`ere de convergence de D’Alembert lim =K
n→+∞ un
- si K < 1 alors Σ un est CV - si K > 1 alors Σ un est DV
+
- si K = 1 ? ? ?

5) S´
eries Enti`
eres
a) S´erie de terme g´en´eral un = an xn Sn est un polynˆome en x.

b) Rayon de convergence.
Si une s´erie enti`ere converge en x0 elle est absolument convergente pour tout x tel que : |x| < |x0 |
On appelle R le rayon de convergence de la s´erie, si :
– pour |x| < R elle est convergente (CV)
– pour |x| > R elle est divergente (DV)

c) Exemples de recherche du Rayon de convergence.
+∞ n
# ! !
x |x| < 1 CV x=1 CV
n |x| > 1 DV x = −1 semi CV
n=0

+∞ n
# +∞
#
x
R = +∞ ∀x CV ; n2n xn R=0 ∀x DV
n=0
n! n=0




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