Fonction Exponentielle
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Catégories :Categories: Cours et Formulaires TI-82+/83+/84, Cours et Formulaires TI-76/82Stats/83, Cours et Formulaires TI-82
Auteur Author: Konichu
Type : Texte nécessitant un lecteur
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Taille Size: 2.00 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 18/11/2013 - 21:10:15
Uploadeur Uploader: Konichu (Profil)
Téléchargements Downloads: 1220
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a22996
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Description
Fichier TxtView généré sur TI-Planet.org.
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
<<
Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :
f'=f et f(0)=1
Appelée fonction expo et notée exp
Ainsi pour tout x on a exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1
Aussi noté e^x
Propriété :
Si une fonction f dérivable sur R vérifie f'=f et f(0)=1 alors pour tout x on a f(x)f(-x) =1 et donc f(x)=/=0
Par conséquence e^x=/=0
Démonstration de l'unicité (ROC) :
On suppose l'existence d'une fonction dérivable g vérifiant g'=g et g(0)=1
La fonction exp s’annulant pas on peut définir h=g/exp sur R
h'(x) = (g'(x)exp(x)-g(x)exp'(x))/((exp(x))²
= (g(x)exp(x)-g(x)exp(x))/((exp(x))²
=0
h est donc constante sur R et h(0) = g(0)/exp(0)=1
ainsi pour tout réel x on a h(x)=1 on en déduit que pour tout x g(x)=exp(x)
Propriétés :
e^x+y = e^x + e^y
e^-x= 1/e^x
e^x-y = e^x/e^y
e^nx = (e^x)^n
sqrt(e) = e^1/2
Théorème :
La fonction expo est strictement positive sur R
on peut écrire pour tout x , e^x>0
Démo :
On sait que pour tout x, e^x=/=0
De plus, pour tout x, e^x=(e^x/2)²>0, donc pour tout réel x on a e^x>0
Théorème :
La fonction expo est strictement croissante sur R
Démo :
On sait que exp'=exp et d'après le théorème précédent , la fonction exp strictement positive sur R
Ainsi la fonction expo est strictement croissant sur R
Propriétés :
Pour tous x et y
x<y <=> e^x<e^y
x=y <=> e^x=e^y
Théorème :
lim e^x=+inf (en +inf)
Démo (ROC) :
On considère la fonction f définie sur 0;+inf par f(x) = e^x -x
On a f'(x) = e^x -1 or pour tout réel x positif e^x >>1 donc f'(x) >>0
Ainsi la fonction f est croissante sur 0;+inf et comme f(0)=1 on a f(x)>>0 ce qui équivaut à e^x >>x
Or lim x=+inf (en +inf) donc par comparaison on a bien lim e^x=+inf (en + inf)
Théorème :
lim e^x = 0 (en -inf)
Démo (ROC)
Pour tout x : e^x=1/e^-x or si x tend vers -inf, -x tend vers +inf donc e^-x tend vers +ifn d'après le théorème précédent
Par conséquent 1/e^-x tend vers 0
(Puis dresser tableau de variation)
>>
Compatible TI-73/76/82/83/84.
Nécessite l'intallation d'un kernel/shell compatible et du programme TxtView approprié.
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Théorème : Il existe une unique fonction f dérivable sur R telle que :
f'=f et f(0)=1
Appelée fonction expo et notée exp
Ainsi pour tout x on a exp'(x)=exp(x) et exp(0)=1
Aussi noté e^x
Propriété :
Si une fonction f dérivable sur R vérifie f'=f et f(0)=1 alors pour tout x on a f(x)f(-x) =1 et donc f(x)=/=0
Par conséquence e^x=/=0
Démonstration de l'unicité (ROC) :
On suppose l'existence d'une fonction dérivable g vérifiant g'=g et g(0)=1
La fonction exp s’annulant pas on peut définir h=g/exp sur R
h'(x) = (g'(x)exp(x)-g(x)exp'(x))/((exp(x))²
= (g(x)exp(x)-g(x)exp(x))/((exp(x))²
=0
h est donc constante sur R et h(0) = g(0)/exp(0)=1
ainsi pour tout réel x on a h(x)=1 on en déduit que pour tout x g(x)=exp(x)
Propriétés :
e^x+y = e^x + e^y
e^-x= 1/e^x
e^x-y = e^x/e^y
e^nx = (e^x)^n
sqrt(e) = e^1/2
Théorème :
La fonction expo est strictement positive sur R
on peut écrire pour tout x , e^x>0
Démo :
On sait que pour tout x, e^x=/=0
De plus, pour tout x, e^x=(e^x/2)²>0, donc pour tout réel x on a e^x>0
Théorème :
La fonction expo est strictement croissante sur R
Démo :
On sait que exp'=exp et d'après le théorème précédent , la fonction exp strictement positive sur R
Ainsi la fonction expo est strictement croissant sur R
Propriétés :
Pour tous x et y
x<y <=> e^x<e^y
x=y <=> e^x=e^y
Théorème :
lim e^x=+inf (en +inf)
Démo (ROC) :
On considère la fonction f définie sur 0;+inf par f(x) = e^x -x
On a f'(x) = e^x -1 or pour tout réel x positif e^x >>1 donc f'(x) >>0
Ainsi la fonction f est croissante sur 0;+inf et comme f(0)=1 on a f(x)>>0 ce qui équivaut à e^x >>x
Or lim x=+inf (en +inf) donc par comparaison on a bien lim e^x=+inf (en + inf)
Théorème :
lim e^x = 0 (en -inf)
Démo (ROC)
Pour tout x : e^x=1/e^-x or si x tend vers -inf, -x tend vers +inf donc e^-x tend vers +ifn d'après le théorème précédent
Par conséquent 1/e^-x tend vers 0
(Puis dresser tableau de variation)
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