CONCOURS BLANC CAPLP 2021



COMPOSITION de MATHEMATIQUES

Durée : 4 heures




L’usage des calculatrices de poche, y compris programmables, alphanumériques ou à écran graphique, à
fonctionnement autonome et non imprimante est autorisée conformément à la circulaire n° 99-186 du 16
novembre 1999

L’usage de tout autre document et de tout matériel électronique est rigoureusement interdit.

Le sujet est composé de deux exercices et un problème :
- Le premier exercice est un Vrai/Faux.
- Le deuxième exercice est de nature pédagogique
- Le problème comporte 5 parties.

La clarté, la précision des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante
dans l’appréciation des copies.

Dans le cas où un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale très lisiblement dans
sa copie, propose la correction et poursuit l’épreuve en conséquence.

Le sujet comporte 6 pages d’énoncés numérotées de 1/ 6 à 6/6 et 4 pages d’annexes concernant l’exercice 2.
L’annexe 3 étant à rendre avec la copie.




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Exercice 1

Préciser si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse, puis justifier la réponse.
Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.


1. Pour tout réel x, ex  ex .


2. Si une suite réelle n’est pas majorée, alors elle a pour limite + .


3. L’espace est rapporté à un repère orthonormé.
Soient P le plan d’équation 2x − 2y + z − 1 = 0 et D la droite passant par A(0 ; 0 ; −1) et B(−2 ; 2 ; −2).
La droite D est parallèle au plan P.


 5 / 2 −1/ 2   2 0
4. On considère les matrices A =   et D =  .
 −1/ 2 5 / 2   0 3
Il existe une matrice P telle que A = PDP −1 .


5. Soient A, B et C trois points du plan affine et G le barycentre des points A, B et C affectés
respectivement des coefficients 3, – 2 et 1.

L’ensemble des points M tels que 3MA − 2MB + MC = 1est le cercle de centre G et de rayon 1.



6.  t 2 cos ( t ) dt = − .
0




par : f ( x ) =  e− t dt .
x 2
7. Soit f la fonction définie sur
1

La fonction f est strictement croissante sur .


8. Soient σ un réel positif et Y une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance 0 et de variance σ2.
Alors P ( Y  − ) 0, 68 .



( )
k
9. Il existe au moins un entier relatif k tel que 3i − 1 soit un nombre imaginaire pur.



x 2 − 2x
10. Soit f la fonction définie sur −; 0 par g ( x ) = et Г sa courbe représentative.
x −3
La courbe Г admet une asymptote d’équation y = – 1.

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Exercice 2
Cet exercice de type pédagogique est construit autour d’un exercice proposé en évaluation aux élèves de
classe de terminale bac Pro – groupement A sur la thématique « Construire et aménager sa maison ».

Il nécessite les annexes suivantes fournies en fin de problème :
Annexe 1 : Document élève
Annexe 2 : Extrait du bulletin officiel spécial numéro 2 du 19 février 2009
Annexe 3 : Grille nationale d’évaluation en mathématiques et sciences physiques et chimiques.
Attention : l’annexe 3 doit être rendue avec la copie.


Questions pour le candidat :

1. Rédiger une correction de l’exercice proposé aux élèves en annexe 1.
Cette correction est destinée aux élèves.

2. Démontrer le rappel donné dans la question 1 sur la dérivée de la fonction exponentielle.
Cette démonstration n’est pas destinée aux élèves.

3. On s’intéresse à l’exercice proposé aux élèves.
a) En utilisant l’annexe 2, établir la liste des capacités et des connaissances évaluées dans la question 2
du document élève.
b) En utilisant les numéros des questions de l’exercice, renseigner en annexe 3, la colonne intitulée
« questions » de la grille d’évaluation.
c) Préciser, en justifiant, à quel endroit vous placeriez « l’appel professeur »
Attention : l’annexe 3 doit être rendue avec la copie.
d) Proposer une modification de l’énoncé de la question 4 permettant la prise en compte des difficultés
que peuvent rencontrer certains élèves.




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Problème
1
Cet exercice est construit autour de la fonction f définie sur −1; + par f ( x ) = .
x +1
On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé,
d la droite équation x = – 1 et G le point de coordonnées (– 1 ; 0).




Partie A : Une propriété d’aire

1. Etude d’un cas particulier
a) Ecrire une équation cartésienne de T la tangente à C au point d’abscisse 1.
b) Déterminer les coordonnées de E et F points d’intersection respectifs de T avec l’axe (Ox) et la droite d.
c) Calculer l’aire du triangle EFG en unité d’aire.

2. Etude du cas général
a) On note Ta la tangente à C au point d’abscisse a > – 1.
−1 1 + 2a
Montrer qu’une équation de Ta est : y = x+ .
(1 + a ) (1 + a )
2 2


b) Montrer que Ta rencontre l’axe (Ox) et la droite d puis déterminer les coordonnées de Ea et Fa points
d’intersection respectifs de T avec l’axe (Ox) et la droite d.
c) Calculer l’aire du triangle Ea Fa G en unité d’aire. Que peut-on conclure ?


Partie B : Utilisation d’une normale

Soit A(a ; f(a)) un point quelconque de C avec a > – 1.
On rappelle que la normale à C en A est la droite orthogonale
à la tangente Ta à C en A. On la note ici Na.




1
1. Montrer qu’une équation de Na est y = (1 + a ) ( x − a ) +
2
.
1+ a

2. Existe-t-il des valeurs de a pour lesquelles Na passe par G ?

3. Dans cette question on suppose que a est un réel strictement positif.
a) Montrer que Na et (Ox) ont un unique point d’intersection noté Ka.
b) Montrer que l’abscisse de Ka est strictement supérieur à – 1.
c) Montrer que les points A, Fa, G et Ka sont situés sur un même cercle dont on déterminera les éléments
caractéristiques. [On rappelle que Fa est le point d’intersection de la tangente Ta avec d (cf Partie A).]




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 Partie C : Exercice de tir

1. On considère toujours A(a ; f(a)) un point quelconque de C où a est un réel tel que a > – 1.
On rappelle que Ea et Fa sont les points d’intersection de Ta respectivement avec (Ox) et d (cf Partie A).
Pour alléger les notations dans cette partie, on notera E au lieu de Ea et F au lieu de Fa.
a) Calculer les coordonnées du point J milieu de [GE] et montrer que A milieu de [EF].
b) Quelle est la nature du triangle GAE ?
c) Calculer l’aire du triangle GAE.
d) En déduire à l’aide de la partie B que les triangles GAE et GAF ont la même aire.

2. On fabrique une cible triangulaire FEG délimitée par les droites Ta , l’axe (Ox) et d.
Cette cible est partagée en 3 en reliant G à A et A à J.
On tire une flèche en direction de la cible et on admet que la flèche atteint toujours la cible.




On note : pAFG la probabilité d’atteindre l’intérieur du triangle AFG,
pAJE celle d’atteindre l’intérieur du triangle AJE
pAGJ celle d’atteindre l’intérieur du triangle AGJ.
On suppose que les probabilités pAFG, pAJE et pAGJ sont proportionnelles aux aires respectives des triangles.

On établit un marquage de points selon la règle suivante :
Lors d’un lancer : - atteindre l’intérieur du triangle AFG rapporte 1 point,
- atteindre l’intérieur du triangle AJE rapporte 1 point également
- atteindre l’intérieur du triangle AGJ rapporte 2 points.
On considère qu’on peut toujours conclure car la flèche n’est jamais sur une position limite.
Quand on lance plusieurs fois la flèche, les points s’ajoutent.

a) Calculer les probabilités pAFG, pAJE et pAGJ.
b) On fait un lancer. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 1 point ? exactement 2 points ?
c) On fait deux lancers successifs et indépendants.
Faire un arbre de probabilité permettant de visualiser les différents cas possibles.
Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 2 points ? e...