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Catégorie :Category: nCreator TI-Nspire
Auteur Author: Abdoulrahim
Type : Classeur 3.0.1
Page(s) : 1
Taille Size: 6.97 Ko KB
Mis en ligne Uploaded: 27/11/2024 - 01:22:10
Uploadeur Uploader: Abdoulrahim (Profil)
Téléchargements Downloads: 2
Visibilité Visibility: Archive publique
Shortlink : http://ti-pla.net/a4345908
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Description
Fichier Nspire généré sur TI-Planet.org.
Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Si je devais généraliser la recherche du minimum d'une fonction, voici une vue d'ensemble qui s'applique dans presque tous les cas, que ce soit pour des fonctions simples, complexes, avec ou sans contraintes, à une ou plusieurs variables : Principe général : Minimiser une fonction f ( x ) f(x) Le problème est de trouver x x^* tel que : f ( x ) d f ( x ) , x D f(x^*) leq f(x), quad forall x in mathcal{D} où D mathcal{D} est le domaine de définition de la fonction f ( x ) f(x) . Étapes générales : Analyser la nature de la fonction f ( x ) f(x) : Différentiable ou non : Peut-on calculer f ( x ) nabla f(x) ou les dérivées/? Si oui, on utilise des méthodes basées sur le gradient. Si non, on utilise des approches sans gradient (comme des méthodes stochastiques ou évolutionnaires). Convexe ou non : Si f ( x ) f(x) est convexe, tout minimum local est global. Si f ( x ) f(x) est non convexe, des minima locaux et globaux peuvent coexister. Présence de contraintes : S'il y a des contraintes, elles définissent le domaine admissible D mathcal{D} . Déterminer les conditions d'optimalité : Conditions de premier ordre : Le gradient s'annule au minimum (si f ( x ) f(x) est différentiable) : f ( x ) = 0 nabla f(x^*) = 0 Conditions de second ordre : La matrice hessienne ( H ( x ) H(x^*) ) détermine la nature du point critique : H ( x ) H(x^*) définie positive Ò Rightarrow Minimum local. H ( x ) H(x^*) définie négative Ò Rightarrow Maximum local. H ( x ) H(x^*) indéfinie Ò Rightarrow Point selle. Choisir une méthode appropriée pour trouver x x^* : Cas sans contraintes : Si f ( x ) f(x) est simple (différentiable, forme analytique claire) : Résoudre f ( x ) = 0 nabla f(x) = 0 analytiquement. Si f ( x ) f(x) est complexe (grande dimension, non analytique) : Méthodes numériques comme : Descente de gradient. Méthodes quasi-Newton (ex. BFGS). Méthodes stochastiques (ex. recuit simulé, algorithmes génétiques). Cas avec contraintes : Contraintes égalité ( g ( x ) = 0 g(x) = 0 ) : Utiliser les multiplicateurs de Lagrange : L ( x , » ) = f ( x ) + » T g ( x ) mathcal{L}(x, lambda) = f(x) + lambda^T g(x) Trouver x x^* et » lambda^* tels que L ( x , » ) = 0 nabla mathcal{L}(x^*, lambda^*) = 0 . Contraintes inégalités ( g ( x ) d 0 g(x) leq 0 ) : Utiliser des méthodes comme les algorithmes de points intérieurs ou les méthodes de projection. Grandes contraintes complexes : Approches numériques avancées (ex. optimisation par pénalisation, barrières log). Itérer et vérifier la convergence : Vérifier si la solution x x^* satisfait les conditions d'arrêt : % f ( x ) % < õ |nabla f(x^*)| < epsilon , où õ epsilon est une tolérance choisie. La variation de f ( x ) f(x) entre deux itérations est négligeable. Si non, ajuster la méthode (par exemple, pas de descente, règles de mise à jour). Approche unifiée pour une ou plusieurs variables : Cas 1 : Fonction différentiable sans contraintes Résoudre f ( x ) = 0 nabla f(x) = 0 . Vérifier H ( x ) > 0 H(x) > 0 (minimum local). Approches analytiques ou numériques. Cas 2 : Fonction non différentiable Utiliser des approches sans gradient comme : Méthodes stochastiques (ex. algorithmes évolutionnaires). Méthodes basées sur les sous-gradients. Cas 3 : Présence de contraintes Reformuler le problème avec des multiplicateurs de Lagrange ou des techniques de pénalisation. Résoudre avec des approches analytiques ou numériques. Exemples pratiques pour généraliser : Fonction simple à une variable : Minimiser f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 f(x) = x^2 + 2x + 1 . Dérivée : f 2 ( x ) = 2 x + 2 f'(x) = 2x + 2 . Résolution : 2 x + 2 = 0
ù
x = 1 2x + 2 = 0 implies x = -1 . Fonction à plusieurs variables : Minimiser f ( x , y ) = x 2 + y 2 + x y f(x, y) = x^2 + y^2 + xy . Gradient : f ( x , y ) = ( 2 x + y 2 y + x ) nabla f(x, y) = begin{pmatrix} 2x + y \ 2y + x end{pmatrix} . Résolution : f ( x , y ) = 0
ù
x = 0 , y = 0 nabla f(x, y) = 0 implies x = 0, y = 0 . Fonction avec contraintes : Minimiser f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x, y) = x^2 + y^2 , sous x + y = 1 x + y = 1 . Lagrangien : L ( x , y , » ) = x 2 + y 2 + » ( x + y 1 ) mathcal{L}(x, y, lambda) = x^2 + y^2 + lambda (x + y - 1) . Résolution des équations : L x = 2 x + » = 0 , L y = 2 y + » = 0 , x + y = 1. frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x + lambda = 0, quad frac{partial mathcal{L}}{partial y} = 2y + lambda = 0, quad x + y = 1. On trouve x = y = 0.5 x = y = 0.5 . Résumé généralisé : Identifier la nature de la fonction ( f ( x ) f(x) ) : différentiable, convexe, contrainte ou non. Choisir une méthode adaptée (analytique ou numérique). Résoudre les équations ou itérer jusquà convergence. Vérifier les conditions doptimalité pour garantir un minimum. Cela s'applique à presque tous les cas/! =
Si tu veux un exemple plus complexe ou une visualisation, dis-le-moi. Pour résoudre ce prob
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Compatible OS 3.0 et ultérieurs.
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Si je devais généraliser la recherche du minimum d'une fonction, voici une vue d'ensemble qui s'applique dans presque tous les cas, que ce soit pour des fonctions simples, complexes, avec ou sans contraintes, à une ou plusieurs variables : Principe général : Minimiser une fonction f ( x ) f(x) Le problème est de trouver x x^* tel que : f ( x ) d f ( x ) , x D f(x^*) leq f(x), quad forall x in mathcal{D} où D mathcal{D} est le domaine de définition de la fonction f ( x ) f(x) . Étapes générales : Analyser la nature de la fonction f ( x ) f(x) : Différentiable ou non : Peut-on calculer f ( x ) nabla f(x) ou les dérivées/? Si oui, on utilise des méthodes basées sur le gradient. Si non, on utilise des approches sans gradient (comme des méthodes stochastiques ou évolutionnaires). Convexe ou non : Si f ( x ) f(x) est convexe, tout minimum local est global. Si f ( x ) f(x) est non convexe, des minima locaux et globaux peuvent coexister. Présence de contraintes : S'il y a des contraintes, elles définissent le domaine admissible D mathcal{D} . Déterminer les conditions d'optimalité : Conditions de premier ordre : Le gradient s'annule au minimum (si f ( x ) f(x) est différentiable) : f ( x ) = 0 nabla f(x^*) = 0 Conditions de second ordre : La matrice hessienne ( H ( x ) H(x^*) ) détermine la nature du point critique : H ( x ) H(x^*) définie positive Ò Rightarrow Minimum local. H ( x ) H(x^*) définie négative Ò Rightarrow Maximum local. H ( x ) H(x^*) indéfinie Ò Rightarrow Point selle. Choisir une méthode appropriée pour trouver x x^* : Cas sans contraintes : Si f ( x ) f(x) est simple (différentiable, forme analytique claire) : Résoudre f ( x ) = 0 nabla f(x) = 0 analytiquement. Si f ( x ) f(x) est complexe (grande dimension, non analytique) : Méthodes numériques comme : Descente de gradient. Méthodes quasi-Newton (ex. BFGS). Méthodes stochastiques (ex. recuit simulé, algorithmes génétiques). Cas avec contraintes : Contraintes égalité ( g ( x ) = 0 g(x) = 0 ) : Utiliser les multiplicateurs de Lagrange : L ( x , » ) = f ( x ) + » T g ( x ) mathcal{L}(x, lambda) = f(x) + lambda^T g(x) Trouver x x^* et » lambda^* tels que L ( x , » ) = 0 nabla mathcal{L}(x^*, lambda^*) = 0 . Contraintes inégalités ( g ( x ) d 0 g(x) leq 0 ) : Utiliser des méthodes comme les algorithmes de points intérieurs ou les méthodes de projection. Grandes contraintes complexes : Approches numériques avancées (ex. optimisation par pénalisation, barrières log). Itérer et vérifier la convergence : Vérifier si la solution x x^* satisfait les conditions d'arrêt : % f ( x ) % < õ |nabla f(x^*)| < epsilon , où õ epsilon est une tolérance choisie. La variation de f ( x ) f(x) entre deux itérations est négligeable. Si non, ajuster la méthode (par exemple, pas de descente, règles de mise à jour). Approche unifiée pour une ou plusieurs variables : Cas 1 : Fonction différentiable sans contraintes Résoudre f ( x ) = 0 nabla f(x) = 0 . Vérifier H ( x ) > 0 H(x) > 0 (minimum local). Approches analytiques ou numériques. Cas 2 : Fonction non différentiable Utiliser des approches sans gradient comme : Méthodes stochastiques (ex. algorithmes évolutionnaires). Méthodes basées sur les sous-gradients. Cas 3 : Présence de contraintes Reformuler le problème avec des multiplicateurs de Lagrange ou des techniques de pénalisation. Résoudre avec des approches analytiques ou numériques. Exemples pratiques pour généraliser : Fonction simple à une variable : Minimiser f ( x ) = x 2 + 2 x + 1 f(x) = x^2 + 2x + 1 . Dérivée : f 2 ( x ) = 2 x + 2 f'(x) = 2x + 2 . Résolution : 2 x + 2 = 0
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x = 1 2x + 2 = 0 implies x = -1 . Fonction à plusieurs variables : Minimiser f ( x , y ) = x 2 + y 2 + x y f(x, y) = x^2 + y^2 + xy . Gradient : f ( x , y ) = ( 2 x + y 2 y + x ) nabla f(x, y) = begin{pmatrix} 2x + y \ 2y + x end{pmatrix} . Résolution : f ( x , y ) = 0
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x = 0 , y = 0 nabla f(x, y) = 0 implies x = 0, y = 0 . Fonction avec contraintes : Minimiser f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x, y) = x^2 + y^2 , sous x + y = 1 x + y = 1 . Lagrangien : L ( x , y , » ) = x 2 + y 2 + » ( x + y 1 ) mathcal{L}(x, y, lambda) = x^2 + y^2 + lambda (x + y - 1) . Résolution des équations : L x = 2 x + » = 0 , L y = 2 y + » = 0 , x + y = 1. frac{partial mathcal{L}}{partial x} = 2x + lambda = 0, quad frac{partial mathcal{L}}{partial y} = 2y + lambda = 0, quad x + y = 1. On trouve x = y = 0.5 x = y = 0.5 . Résumé généralisé : Identifier la nature de la fonction ( f ( x ) f(x) ) : différentiable, convexe, contrainte ou non. Choisir une méthode adaptée (analytique ou numérique). Résoudre les équations ou itérer jusquà convergence. Vérifier les conditions doptimalité pour garantir un minimum. Cela s'applique à presque tous les cas/! =
Si tu veux un exemple plus complexe ou une visualisation, dis-le-moi. Pour résoudre ce prob
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