Campo Eléctrico, Flujo eléctrico, Teorema de Gauss, Potencial eléctrico.
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1.- Un campo eléctrico uniforme 5N5V+ 5O5W atraviesa por una superficie de área A. ¿Cuál es el flujo que pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) Superficie en el plano yz El vector área para una superficie en el plano yz es perpendicular al eje x, por lo tanto, A × = A i ^ vec{A} = Ahat{i} A = A i ^ si asumimos que el área es orientada positivamente en la dirección del eje x. Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A i ^ ) = a A + b Å 0 = a A Phi_E = (ahat{i} + bhat{j}) cdot (Ahat{i}) = aA + b cdot 0 = aA ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A i ^ ) = a A + b Å 0 = a A El flujo eléctrico a través de esta superficie es a A aA a A . b) Superficie en el plano xz El vector área para una superficie en el plano xz es perpendicular al eje y, así q ue A × = A j ^ vec{A} = Ahat{j} A = A j ^ si asumimos que el área es orientada positivamente en la dirección del eje y. Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A j ^ ) = a Å 0 + b A = b A Phi_E = (ahat{i} + bhat{j}) cdot (Ahat{j}) = a cdot 0 + bA = bA ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A j ^ ) = a Å 0 + b A = b A El flujo eléctrico a través de esta superficie es b A bA b A . c) Superficie en el plano xy El vector área para una superficie en el plano xy es perpendicular a los ejes x y y, por lo tanto, apuntaría en la dirección del eje z. Supongamos que A × = A k ^ vec{A} = Ahat{k} A = A k ^ . Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A k ^ ) = a Å 0 + b Å 0 = 0 Phi_E = (ahat{i} + bhat{j}) cdot (Ahat{k}) = a cdot 0 + b cdot 0 = 0 ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A k ^ ) = a Å 0 + b Å 0 = 0 El flujo eléctrico a través de esta superficie es 0, ya que el campo eléctrico no tiene componentes en la dirección k ^ hat{k} k ^ . Conclusión: El flujo eléctrico a través de una superficie en el plano yz es a A aA a A . El flujo eléctrico a través de una superficie en el plano xz es b A bA b A . El flujo eléctrico a través de una superficie en el plano xy es 0, debido a la ausencia de componentes del campo eléctrico en la dirección normal al plano. 2.- Un campo eléctrico de magnitud igual a 3.50 kN/C se aplica a lo largo del eje x. Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350m de ancho y 0.700m de largo si: a) El plano es paralelo al plano yz. b) El plano es paralelo al plano xy. c) El plano contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 40º con el eje x. Para resolver el problema del flujo eléctrico a través de un plano rectangular en varias orientaciones con un campo eléctrico dado, vamos a aplicar la definición del flujo eléctrico que implica el producto escalar del campo eléctrico y el vector área: ¦ E = E × Å A × Phi_E = vec{E} cdot vec{A} ¦ E = E Å A Dado: Campo eléctrico: E × = 3500 i ^ vec{E} = 3500 , hat{i} E = 3500 i ^ N/C (3.50 kN/C a lo largo del eje x) Dimensiones del plano: ancho = 0.350 m , largo = 0.700 m text{ancho} = 0.350 , text{m}, text{largo} = 0.700 , text{m} ancho = 0.350 m , largo = 0.700 m Área del plano: A = ancho × largo = 0.350 × 0.700 = 0.245 m 2 A = text{ancho} times text{largo} = 0.350 times 0.700 = 0.245 , text{m}^2 A = ancho × largo = 0.350 × 0.700 = 0.245 m 2 a) El plano es paralelo al plano yz Para un plano paralelo al plano yz, el vector de área es perpendicular al eje x. Así, el vector área es A × = 0.245 i ^ vec{A} = 0.245 , hat{i} A = 0.245 i ^ . Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 i ^ ) = 3500 × 0.245 = 857.5 N Å m 2 / C Phi_E = (3500 , hat{i}) cdot (0.245 , hat{i}) = 3500 times 0.245 = 857.5 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 i ^ ) = 3500 × 0.245 = 857.5 N Å m 2 / C El flujo eléctrico a través de esta superficie es 857.5 N Å m 2 / C 857.5 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} 857.5 N Å m 2 / C . b) El plano es paralelo al plano xy Para un plano paralelo al plano xy, el vector área es perpendicular al eje z, A × = 0.245 k ^ vec{A} = 0.245 , hat{k} A = 0.245 k ^ . Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 k ^ ) = 3500 × 0 = 0 N Å m 2 / C Phi_E = (3500 , hat{i}) cdot (0.245 , hat{k}) = 3500 times 0 = 0 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 k ^ ) = 3500 × 0 = 0 N Å m 2 / C El flujo eléctrico a través de esta superficie es 0 N Å m 2 / C 0 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} 0 N Å m 2 / C , debido a la ortogonalidad del campo y el vector área. c) El plano contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 40º con el eje x Para un plano que contiene al eje y y cuya normal forma un ángulo de 40º con el eje x, el vector área tiene componentes en los ejes x y z. La dirección del vector área puede expresarse como A × = A ( cos a ( 4 0 ) i ^ + sin a ( 4 0 ) k ^ ) vec{A} = A (cos(40^circ) , hat{i} + sin(40^circ) , hat{k}) A = A ( cos ( 4 0 ) i ^ + sin ( 4 0 ) k ^ ) . Cálculo del flujo eléctrico: A × = 0.245 ( cos a ( 4 0 ) i ^ + sin a (
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1.- Un campo eléctrico uniforme 5N5V+ 5O5W atraviesa por una superficie de área A. ¿Cuál es el flujo que pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) Superficie en el plano yz El vector área para una superficie en el plano yz es perpendicular al eje x, por lo tanto, A × = A i ^ vec{A} = Ahat{i} A = A i ^ si asumimos que el área es orientada positivamente en la dirección del eje x. Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A i ^ ) = a A + b Å 0 = a A Phi_E = (ahat{i} + bhat{j}) cdot (Ahat{i}) = aA + b cdot 0 = aA ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A i ^ ) = a A + b Å 0 = a A El flujo eléctrico a través de esta superficie es a A aA a A . b) Superficie en el plano xz El vector área para una superficie en el plano xz es perpendicular al eje y, así q ue A × = A j ^ vec{A} = Ahat{j} A = A j ^ si asumimos que el área es orientada positivamente en la dirección del eje y. Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A j ^ ) = a Å 0 + b A = b A Phi_E = (ahat{i} + bhat{j}) cdot (Ahat{j}) = a cdot 0 + bA = bA ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A j ^ ) = a Å 0 + b A = b A El flujo eléctrico a través de esta superficie es b A bA b A . c) Superficie en el plano xy El vector área para una superficie en el plano xy es perpendicular a los ejes x y y, por lo tanto, apuntaría en la dirección del eje z. Supongamos que A × = A k ^ vec{A} = Ahat{k} A = A k ^ . Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A k ^ ) = a Å 0 + b Å 0 = 0 Phi_E = (ahat{i} + bhat{j}) cdot (Ahat{k}) = a cdot 0 + b cdot 0 = 0 ¦ E = ( a i ^ + b j ^ ) Å ( A k ^ ) = a Å 0 + b Å 0 = 0 El flujo eléctrico a través de esta superficie es 0, ya que el campo eléctrico no tiene componentes en la dirección k ^ hat{k} k ^ . Conclusión: El flujo eléctrico a través de una superficie en el plano yz es a A aA a A . El flujo eléctrico a través de una superficie en el plano xz es b A bA b A . El flujo eléctrico a través de una superficie en el plano xy es 0, debido a la ausencia de componentes del campo eléctrico en la dirección normal al plano. 2.- Un campo eléctrico de magnitud igual a 3.50 kN/C se aplica a lo largo del eje x. Calcule el flujo eléctrico a través de un plano rectangular de 0.350m de ancho y 0.700m de largo si: a) El plano es paralelo al plano yz. b) El plano es paralelo al plano xy. c) El plano contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 40º con el eje x. Para resolver el problema del flujo eléctrico a través de un plano rectangular en varias orientaciones con un campo eléctrico dado, vamos a aplicar la definición del flujo eléctrico que implica el producto escalar del campo eléctrico y el vector área: ¦ E = E × Å A × Phi_E = vec{E} cdot vec{A} ¦ E = E Å A Dado: Campo eléctrico: E × = 3500 i ^ vec{E} = 3500 , hat{i} E = 3500 i ^ N/C (3.50 kN/C a lo largo del eje x) Dimensiones del plano: ancho = 0.350 m , largo = 0.700 m text{ancho} = 0.350 , text{m}, text{largo} = 0.700 , text{m} ancho = 0.350 m , largo = 0.700 m Área del plano: A = ancho × largo = 0.350 × 0.700 = 0.245 m 2 A = text{ancho} times text{largo} = 0.350 times 0.700 = 0.245 , text{m}^2 A = ancho × largo = 0.350 × 0.700 = 0.245 m 2 a) El plano es paralelo al plano yz Para un plano paralelo al plano yz, el vector de área es perpendicular al eje x. Así, el vector área es A × = 0.245 i ^ vec{A} = 0.245 , hat{i} A = 0.245 i ^ . Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 i ^ ) = 3500 × 0.245 = 857.5 N Å m 2 / C Phi_E = (3500 , hat{i}) cdot (0.245 , hat{i}) = 3500 times 0.245 = 857.5 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 i ^ ) = 3500 × 0.245 = 857.5 N Å m 2 / C El flujo eléctrico a través de esta superficie es 857.5 N Å m 2 / C 857.5 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} 857.5 N Å m 2 / C . b) El plano es paralelo al plano xy Para un plano paralelo al plano xy, el vector área es perpendicular al eje z, A × = 0.245 k ^ vec{A} = 0.245 , hat{k} A = 0.245 k ^ . Cálculo del flujo eléctrico: ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 k ^ ) = 3500 × 0 = 0 N Å m 2 / C Phi_E = (3500 , hat{i}) cdot (0.245 , hat{k}) = 3500 times 0 = 0 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} ¦ E = ( 3500 i ^ ) Å ( 0.245 k ^ ) = 3500 × 0 = 0 N Å m 2 / C El flujo eléctrico a través de esta superficie es 0 N Å m 2 / C 0 , text{N}cdottext{m}^2/text{C} 0 N Å m 2 / C , debido a la ortogonalidad del campo y el vector área. c) El plano contiene al eje y y su normal forma un ángulo de 40º con el eje x Para un plano que contiene al eje y y cuya normal forma un ángulo de 40º con el eje x, el vector área tiene componentes en los ejes x y z. La dirección del vector área puede expresarse como A × = A ( cos a ( 4 0 ) i ^ + sin a ( 4 0 ) k ^ ) vec{A} = A (cos(40^circ) , hat{i} + sin(40^circ) , hat{k}) A = A ( cos ( 4 0 ) i ^ + sin ( 4 0 ) k ^ ) . Cálculo del flujo eléctrico: A × = 0.245 ( cos a ( 4 0 ) i ^ + sin a (
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