Forme développée

La forme développée, réduite et ordonnée d'une fonction du second degré est celle qui est
donnée en introduction de cet article et dans les livres en général :
(avec a non nul)

Dans ce cas, les nombres , et , suivant le vocabulaire des polynômes, sont respectivement
appelés coefficients du second degré, du premier degré et terme constant. Les termes ,
et sont les monômes respectivement de degré 2, 1 et 0. Sous cette forme constituée de trois
monômes, la fonction est souvent appelée trinôme du second degré.

Forme canonique

Toute fonction du second degré possède une forme réduite ou forme canonique, où la variable
n'apparaît qu'une seule fois. Chaque expression suivante peut être nommée forme
canonique, elles ne diffèrent que par une factorisation par a :




Les nombres et , parfois notés et , correspondent respectivement à
l’abscisse et l'ordonnée du sommet de la parabole représentative du trinôme. Le nombre
, quant à lui, est appelé discriminant et souvent noté .




En effet,

En appliquant la première identité remarquable, on a :




Les formes canoniques sont particulièrement intéressantes car elles permettent d'écrire la
fonction du second degré comme une composée de fonctions affines avec la fonction carré. La
plupart des résultats sur la fonction (variations, symétrie, signe…) se démontrent grâce à l'une
ou l'autre des formes canoniques.

Le sommet de la parabole est le point de coordonnées S(α;β)

La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole qui admet

comme axe de symétrie la droite d'équation . Les coordonnées de son extremum

sont

Forme factorisée

Une fonction du second degré peut parfois s'écrire sous une des formes factorisées suivantes :

 si et seulement si le discriminant ∆ vu à la section
précédente est strictement positif ;
 si et seulement si ∆ est nul ;
 Si le discriminant est négatif, la fonction n'est pas factorisable dans ℝNote 1.


Avec , ,

En effet, si l’on part de la forme canonique



, on obtient

 pour Δ strictement positif, en appliquant la troisième identité remarquable :




 et pour Δ nul, directement

La forme factorisée est intéressante car elle permet, par l’application du théorème de
l'équation produit-nul de résoudre l'équation f(x) = 0 sur ℝ ou ℂ, ou par l’application de la
règle des signes de dresser un tableau de signes de f sur ℝ, donc de résoudre une inéquation
du second degré.