Cette épreuve est constituée de deux problèmes indépendants.


Problème n◦ 1

Les parties D et E de ce problème sont indépendantes des parties B et C.

Notations.
N désigne l'ensemble des entiers naturels et R l'ensemble des nombres réels.
pour m et n deux entiers naturels, Jm, nK désigne l'ensemble des entiers k tels que m 6 k 6 n.
Soit I un intervalle de R. Pour n ∈ N, on note C n (I) l'ensemble des fonctions à valeurs réelles
dénies sur I , n fois dérivables et dont la dérivée n-ième est continue.
Pour n et p deux entiers naturels non nuls, Mn,p (R) désigne l'ensemble des matrices à n
lignes et p colonnes, à coecients réels. Mn,n (R) est noté Mn (R).
R[X] désigne le R-espace vectoriel des polynômes à coecients réels.
Pour tout entier naturel n, Rn [X] désigne l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels
de degré inférieur ou égal à n.


Partie A : interpolation de Lagrange
Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soient a1 , . . . , an des réels deux à deux distincts.
Pour tout entier k ∈ J1, nK, on considère le polynôme
Y X − ai
Lk (X) = .
a − ai
16i6n, k
i6=k


I. Soit k ∈ J1, nK. Montrer que Lk est l'unique polynôme P de Rn−1 [X] tel que pour tout
i ∈ J1, nK,

0 si i 6= k,
(
P (ai ) =
1 si i = k.

II. On considère l'application

Rn−1 [X] → Rn
F :
P 7→ (P (a1 ), . . . , P (an )).

1. Montrer que F est une application linéaire.
2. Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn . Pour k ∈ J1, nK, montrer qu'il existe un
polynôme P dans Rn−1 [X] tel que F (P ) = ek .
3. Montrer que F est surjective, puis justier que F est bijective.
III. Soit f une fonction de R dans R.
1. Montrer qu'il existe un unique polynôme P ∈ Rn−1 [X] tel que pour tout k ∈ J1, nK,
P (ak ) = f (ak ). Ce polynôme P est appelé polynôme d'interpolation de f en les
points d'abscisses a1 , . . . , an .

2. Exprimer le polynôme d'interpolation de f en les points d'abscisses a1 , . . . , an à
l'aide des polynômes L1 , . . . , Ln et des valeurs de f en a1 , . . . , an .


1
 Partie B : erreur d'interpolation


Soient [a, b] un segment de R et n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soit f une fonction
dans C n ([a, b]) et a1 < . . . < an des nombres réels appartenant à [a, b]. On note P le polynôme
d'interpolation de f en les points d'abscisses a1 , . . . , an (on rappelle que P ∈ Rn−1 [X]). Le
but de cette partie est de majorer la valeur absolue de la diérence entre f et P sur le
segment [a, b].
I. Soit g une fonction dénie sur [a, b] à valeurs dans R.
1. Question de cours. Énoncer le théorème de Rolle.
2. On suppose que g est n fois dérivable sur [a, b] et s'annule en au moins n + 1
points distincts de [a, b]. Montrer que la fonction dérivée n-ième g (n) s'annule en
au moins un point de [a, b].
II. On xe c ∈ [a, b], distinct de a1 , . . . , an . On dénit la fonction gc sur [a, b] par
n
Y x − ak
gc (x) = f (x) − P (x) − (f (c) − P (c)) .
k=1
c − ak

1. Montrer que gc s'annule en au moins n + 1 points distincts de [a, b].
2. Montrer que gc est n fois dérivable sur [a, b] puis que gc(n) s'annule en au moins
un point de [a, b].
n
x − ak
Soit hc la fonction dénie sur R par hc (x) = .
Y
3.
k=1
c − ak
En remarquant que hc est une fonction polynôme de degré n, donner une expres-
sion de h(n)
c , puis de gc .
(n)


III. 1. Déduire des questions précédentes qu'il existe un réel ζ ∈ [a, b] tel que
n
f (n) (ζ) Y
f (c) − P (c) = (c − ak ).
n! k=1

2. Montrer que le résultat établi dans la question III.1. reste vrai si c est égal à l'un
des ak .
n
1
3. En déduire que max |f (x) − P (x)| 6 |x − ak |.
Y
(n)
max |f (x)| × max
x∈[a,b] n! x∈[a,b] x∈[a,b]
k=1

Partie C : un exemple


Dans cette partie, on interpole de deux manières diérentes la fonction

[0, π] → R
f:
x 7→ sin(x).

I. Première méthode. On considère le polynôme d'interpolation P de f en les points
d'abscisses 0, π
2
.
,π
1. Calculer P .
2. En utilisant les résultats de la partie B, montrer que pour tout x ∈ [0, π],

|x(x − π2 )(x − π)|
|f (x) − P (x)| 6 max .
x∈[0,π] 6

2
 3. En déduire que pour tout x ∈ [0, π],
√
π3 3
|f (x) − P (x)| 6 .
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II. Seconde méthode. On choisit un entier n > 1.
Pour tout k ∈ J0, n − 1K, on note Pk le polynôme (de degré inférieur ou égal à 1)
kπ (k + 1)π
d'interpolation de f aux deux points d'abscisses et . On note Qn la fonction
n n
ane par morceaux dénie par :
π
P0 (x) si 0 6 x < ,





 n

 π 2π
P1 (x) si 6 x <

,



n n
 ..


.

Qn (x) =
kπ (k + 1)π
Pk (x) si


 6x< (k ∈ J0, n − 2K),
n n

..


.





P (x) si (n − 1)π 6 x 6 π.



n−1
n
1. Calculer Q1 et Q2 . Tracer la courbe représentative de Q...