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Chapitre 19

Espaces préhilbertiens réels

Sommaire
19.1 Produit scalaire, norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
19.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
19.1.2 Norme et distance associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
19.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
19.2.2 Orthogonal d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
19.2.3 Algorithme d’orthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
19.2.4 Calculs dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
19.3 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
19.3.1 Produit mixte dans un espace euclidien orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
19.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
19.4 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
19.4.1 Supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
19.4.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
19.4.3 Distance à un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
19.5 Hyperplans affines d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
19.5.1 Vecteur normal à un hyperplan d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . 436
19.5.2 Équations d’un hyperplan dans une base orthonormale . . . . . . . . . . . . . . 438
19.5.3 Calcul de la distance à un hyperplan affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
19.5.4 Orientation d’un hyperplan par un vecteur normal . . . . . . . . . . . . . . . . 440
19.6 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
19.6.1 Isométries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
19.6.2 Symétries vectorielles orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
19.7 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
19.7.1 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
19.7.2 Matrices orthogonales positives ou négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
19.7.3 Isométries positives, négatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
19.8 Isométries en dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
19.8.1 Matrices orthogonales de taille 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
19.8.2 Angle de rotations et de vecteurs du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
19.8.3 Classification des isométries d’un plan euclidien orienté . . . . . . . . . . . . . 446
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19.1 Produit scalaire, norme et distance
Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur R.


19.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel

Définition 19.1.1 (produit scalaire sur un R espace vectoriel)
Soit E un espace vectoriel sur R. Soit f une application de E × E dans R.
On dit que f : E × E → R est un produit scalaire sur E si elle vérifie les propriétés suivantes :
– l’application f est bilinéaire.
– pour tous vecteurs u et v de E, on a f (u, v) = f (v, u) (on dit que f est symétrique).
– pour tout vecteur u de E, on a : f (u, u) > 0 (on dit que f est positive).
→
−
– pour tout vecteur u de E, on a : f (u, u) = 0 ⇔ u = 0 (on dit que f est définie).
 
∀ (u, u0 , v, v 0 ) ∈ E4 f (αu + βu0 , v) = αf (u, v) + βf (u0 , v)
Rappelons que la bilinéarité s’écrit : 
∀ (α, β) ∈ R2 f (u, αv + βv 0 ) = αf (u, v) + βf (u, v 0 )

Si le caractère symétrique de f est établi, la « linéarité à droite » équivaut à la « linéarité à gauche ».
Un produit scalaire sur E est donc une « forme bilinéaire symétrique définie positive ».

Définition 19.1.2 (espace préhilbertien réel, espace euclidien)
Un R espace vectoriel E muni d’un produit scalaire est dit préhilbertien réel.
Un espace euclidien est un espace préhilbertien réel de dimension finie.


Notations
Plutôt que de noter f (u, v), on note souvent < u, v >, ou u · v, ou (u | v).
Avec la notation (· | ·), que nous utiliserons, la définition d’un produit scalaire devient :

0
(αu + βu

 | v) = α (u | v) + β (u0 | v)
∀ (u, u0 , v, v 0 ) ∈ E 4 , ∀ (α, β) ∈ R2 : (u | αv + βv 0 ) = α (u | v) + β (u | v 0 )

 →
−

(u | v) = (v | u) (u | u) > 0 et (u | u) = 0 ⇔ u = 0

Proposition 19.1.1 (produit scalaire canonique sur Rn )
Soit u = (x1 , . . . , xn ) et v = (y1 , . . . , yn ) deux éléments quelconques de Rn .
n
X
En posant (u | v) = xk yk , on définit un produit scalaire sur Rn .
k=1
On l’appelle le produit scalaire canonique de Rn .

Notation matricielle :
Si on note [u] la matrice-colonne associée à tout vecteur u de Rn , alors (u | v) = [u]> [v].

Proposition 19.1.2 (un produit scalaire sur C([a, b], R))
Soit E = C([a, b], R) l’espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans R, avec a < b.


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Z b
En posant (f | g) = f (t) g(t) dt, on définit un produit scalaire sur E.
a




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19.1.2 Norme et distance associée

Proposition 19.1.3 (norme et distance associée à un produit scalaire)
Soit E un espace préhilbertien réel.
q
Pour tout vecteur u de E, on appelle norme de u la quantité kuk = (u | u).
Pour tous vecteurs u, v on appelle distance de u à v la quantité d(u, v) = ku − vk.
Les applications « norme » et « distance » sont dites associées au produit scalaire sur E.

Définition 19.1.3 (vecteurs unitaires)
Soit E un espace préhilbertien réel. Un vecteur u de E est dit unitaire (ou encore normé) si kuk = 1.

Proposition 19.1.4 (inégalité de Cauchy-Schwarz)
Soit E un espace préhilbertien réel.
Pour tous vecteurs u, v de E, on a l’inégalite dite « de Cauchy-Schwarz » : |(u | v)| 6 kuk kvk.
Il y a égalité dans ce résultat si et seulement si u et v sont liés.


Les deux exemples classiques
– On se place dans Rn , muni de son produit scalaire canonique.
n
X 1/2
Pour tout vecteur u = (x1 , . . . , xn ), on a kuk = x2k .
k=1

n n n
u = (x1 , . . . , xn ) 2
x2k yk2
...