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Chapitre 3

Nombres complexes et trigonométrie

Sommaire
3.1 Notation cartésienne, plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2 Plan complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.4 Notion de transformations du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 Module et distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Trigonométrie circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.1 Une « définition » des fonctions t 7→ eit , t 7→ cos t et t 7→ sin t . . . . . . . . . . 54
3.3.2 Propriétés de l’application eit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.3 Premières propriétés des fonctions x 7→ sin x et x 7→ cos x . . . . . . . . . . . . 55
3.3.4 Formules d’Euler, linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3.5 Utilisation de la formule de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.6 Deux sommes trigonométriques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.7 La fonction tangente x 7→ tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4 Forme trigonométrique (polaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1 Module et argument d’un nombre complexe non nul . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.2 Forme polaire et opérations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.3 Interprétation géométrique du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Équation du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.1 Racines carrées d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.2 Équations du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.6 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.1 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6.2 Racines n-ièmes d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.6.3 Généralisation (admise) aux racines des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7.1 Définition de ez pour z dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.7.2 Propriétés de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.7.3 Résolution de l’équation ez = a dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.8 Interprétations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1 Notation cartésienne, plan complexe Chapitre 3 : Nombres complexes et trigonométrie


3.8.1 Module et argument de (z − b)/(z − a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.8.2 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.8.3 Symétries et projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75




3.1 Notation cartésienne, plan complexe

3.1.1 Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire

Proposition 3.1.1 (opérations sur l’ensemble R2 )
On munit l’ensemble R2 des deux lois suivantes :
(x, y) + (x0 , y 0 ) = (x + x0 , y + y 0 )
0 0 4
∀ (x, y, x , y ) ∈ R , 
(x, y)(x0 , y 0 ) = (xx0 − yy 0 , xy 0 + yx0 )
Muni de ces deux lois, R2 possède une « structure de corps commutatif ». Plus précisément :
– Le neutre pour la loi + est (0, 0), et l’opposé de (x, y) est (−x, −y).
– Le neutre pour le produit est (1, 0).
1 x −y
 
– Pour tout z = (x, y) non nul, l’inverse de z est : = , 2 .
z x + y x + y2
2 2



Définition 3.1.1 (nombres complexes, notation provisoire)
On note C l’ensemble R2 quand il est muni deux lois précédentes.
Ses éléments z = (x, y) sont appelés nombres complexes.

Proposition 3.1.2 (R considéré comme une partie de C) 
ϕ(x + x0 )
= ϕ(x) + ϕ(x0 )
L’application ϕ : x 7→ (x, 0) est bijective de R sur K = {(x, 0), x ∈ R} et 
ϕ(xx0 ) = ϕ(x)ϕ(x0 )
Cette bijection permet donc d’identifier (algébriquement) le couple (x, 0) avec le réel x.
De cette manière, on peut donc considérer que R est une partie de C.

Définition 3.1.2 (le nombre i, notation cartésienne des nombres complexes)
On pose i = (0, 1). On rappelle que pour tout x de R, on identifie (x, 0) et x.
Tout z de C s’écrit de façon unique z = (x, y), avec x et y dans R.
Mais l’égalité z = (x, y) équivaut à z = (x, 0) + (0, 1)(y, 0), c’est-à-dire z = x + iy.
On a ainsi obtenu la notation cartésienne (ou algébrique) des nombres complexes.
Le réel x est appelé partie réelle de z et est noté Re(z).
Le réel y est appelé partie imaginaire de z et est noté Im(z).

Définition 3.1.3 (nombres complexes réels ou imaginaires purs)
Dire que z est réel, c’est dire que sa partie imaginaire Im(z) est nulle.
On dit que z est imaginaire pur si Re(z) = 0, c’est-à-dire si z = iy, avec y dans R.



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© Jean-Michel Ferrard
3.1 Notation cartésienne, plan complexe Chapitre 3 : Nombres complexes et trigonométrie


Attention : dire que le complexe z n’est pas réel ne signifie pas qu’il est imaginaire pur !

Identifications entre parties réelles et parties imaginaires

z = x + iy
Soient deux nombres complexes, avec (x, y, x0 , y 0 ) ∈ R4 .
z 0 = x0 + iy 0 (
x = x0
On sait que z = z 0 ⇔ (on dit qu’on identifie les parties réelles et les parties imaginaires).
y = y0
En particulier : z = 0 ⇔ x = y = 0 (attention à vérifier que x et y sont réels !).
Plus généralement, soit ω un nombre complexe non réel.
Alors tout z de C s’écrit encore façon unique z = a + bω, avec a, b dans R.
On peut alors encore identifier : ∀ (x, y, x0 , y 0 ) ∈ R4 : x + ωy = x0 + ωy 0 ⇔ x = x0 et y = y 0 .
Nouvelle écriture des opérations sur C
Avec les notations précédentes, le nombre i vérifie i2 = −1.
(
z = x + iy
Soient deux nombres complexes, avec (x, y, x0 , y 0 ) ∈ R4 .
z 0 = x0 + iy 0 
+ z 0 = (x + x0 ) + i(y + y 0 )
z
Les opérations sur C s’écrivent maintenant :  0
zz = (xx0 − yy 0 ) + i(xy 0 + yx0 )
1 x − iy
Si z = x + iy est non nul (c’est-à-dire x 6= 0 ou y 6= 0), l’inverse de z est = 2 .
z x + y2
Puissances du nombre i
1
On constate que i2 = −1. Donc = −i. En fait, z 2 = −1 ⇔ z ∈ {i, −i}.
i
Plus généralement i3 = −i, et i4 = 1 (la suite n 7→ in est périodique de période quatre).


3.1.2 Plan complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur
On considère le plan P muni d’un repère orthonormé direct (0, e1 , e2 ).
Chaque point M de P est donc désigné par un unique couple de coordonnées (x, y) dans ce repère.
Pour cette raison, on parlera souvent du plan Oxy, du point M (x, y), des axes Ox et Oy, etc.

Définition 3.1.4
L’application qui à z = x + iy (...