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Description
TABELA: Derivadas, Integrais
e Identidades Trigonom´
etricas
• Derivadas • Integrais
R
Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n con- 1. du = u + c.
R n+1
stante. 2. un du = un+1 + c, n 6= −1.
1. y = un ⇒ y 0 = n un−1 u0 . R du
3. R u = ln |u| + c.
2. y = uv ⇒ y 0 = u0 v + v 0 u. u
4. R au du = lna a + c, a > 0, a 6= 1.
0 0u
3. y = uv ⇒ y 0 = u v−v
v2
. 5. R eu du = eu + c.
4. y = au ⇒ y 0 = au (ln a) u0 , (a > 0, a 6= 1). 6. R sen u du = − cos u + c.
5. y = eu ⇒ y 0 = eu u0 . 7. R cos u du = sen u + c.
0
6. y = loga u ⇒ y 0 = uu loga e. 8. R tg u du = ln |sec u| + c.
7. y = ln u ⇒ y 0 = u1 u0 . 9. Rcotg u du = ln |sen u| + c.
8. y = uv ⇒ y 0 = v uv−1 u0 + uv (ln u) v 0 . 10. R sec u du = ln |sec u + tg u| + c.
9. y = sen u ⇒ y 0 = u0 cos u. 11. R cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c.
10. y = cos u ⇒ y 0 = −u0 sen u. 12. R sec u tg u du = sec u + c.
11. y = tg u ⇒ y 0 = u0 sec2 u. 13. R cosec u cotg u du = −cosec u + c.
12. y = cotg u ⇒ y 0 = −u0 cosec2 u. 14. R sec2 u du = tg u + c.
13. y = sec u ⇒ y 0 = u0 sec u tg u. 15. R cosec2 u du = −cotg u + c.
14. y = cosec u ⇒ y 0 = −u0 cosec u cotg u. 16. u2du = a1 arc tg ua + c.
15. y = arc sen u ⇒ y 0 = √1−u u0
. R du
+a2 ¯ ¯
1 ¯ ¯
2
0 17. u2 −a2 = 2a ln ¯ u−a 2 2
u+a ¯ + c, u > a .
16. y = arc cos u ⇒ y 0 = √−u . ¯ √ ¯
1−u2 R ¯ ¯
u0 18. √udu = ln ¯u + u2 + a2 ¯ + c.
17. y = arc tg u ⇒ y 0 = 1+u 2.
2 +a2
¯ √ ¯
R ¯ ¯
18. y = arc cot g u −u0
⇒ 1+u2 . 19. √udu 2 −a2
= ln ¯u + u2 − a2 ¯ + c.
R
19. y = arc sec u, |u| > 1 20. √adu = arc sen ua + c, u2 < a2 .
2 −u2
0
⇒ y 0 = |u|√uu2 −1 , |u| > 1. R ¯ ¯
21. √ du = 1 arc sec ¯ u ¯ + c.
u u2 −a2 a a
20. y = arc cosec u, |u| > 1
−u0
⇒ y 0 = |u|√ u2 −1
, |u| > 1.
• F´
ormulas de Recorrˆ
encia
R
• Identidades Trigonom´
etricas n−1
1. senn au du = − sen ¡au cos au
an
n−1
¢R
+ n senn−2 au du.
1. sen2 x + cos2 x = 1.
R
2. 1 + tg2 x = sec2 x. 2. cosn au du = sen au cosn−1 au
¡
an ¢R
3. 1 + cotg2 x = cosec2 x. + n−1 cosn−2 au du.
n
4. sen2 x = 1−cos
2
2x
.
2 1+cos 2x R tg n−1 au R
5. cos x = 2 . 3. tg n au du = − tg n−2 au du.
a(n−1)
6. sen 2x = 2 sen x cos x.
R n−1 au R
7. 2 sen x cos y = sen (x − y) + sen (x + y). 4. cotg n au du = − cotg n−2 au du.
a(n−1) − cotg
8. 2 sen x sen y = cos (x − y) − cos (x + y).
R secn−2 au tg au
9. 2 cos x cos y = cos (x¡ − y)¢+ cos (x + y). 5. secn au du = a(n−1)
³ ´R
10. 1 ± sen x = 1 ± cos π2 − x .
+ n−2n−1 secn−2 au du.
R n−2
6. cosecn au du = − cosec a(n−1)
au cotg au
³ ´R
+ n−2n−1 cosecn−2 au du.
e Identidades Trigonom´
etricas
• Derivadas • Integrais
R
Sejam u e v fun¸c˜oes deriv´aveis de x e n con- 1. du = u + c.
R n+1
stante. 2. un du = un+1 + c, n 6= −1.
1. y = un ⇒ y 0 = n un−1 u0 . R du
3. R u = ln |u| + c.
2. y = uv ⇒ y 0 = u0 v + v 0 u. u
4. R au du = lna a + c, a > 0, a 6= 1.
0 0u
3. y = uv ⇒ y 0 = u v−v
v2
. 5. R eu du = eu + c.
4. y = au ⇒ y 0 = au (ln a) u0 , (a > 0, a 6= 1). 6. R sen u du = − cos u + c.
5. y = eu ⇒ y 0 = eu u0 . 7. R cos u du = sen u + c.
0
6. y = loga u ⇒ y 0 = uu loga e. 8. R tg u du = ln |sec u| + c.
7. y = ln u ⇒ y 0 = u1 u0 . 9. Rcotg u du = ln |sen u| + c.
8. y = uv ⇒ y 0 = v uv−1 u0 + uv (ln u) v 0 . 10. R sec u du = ln |sec u + tg u| + c.
9. y = sen u ⇒ y 0 = u0 cos u. 11. R cosec u du = ln |cosec u − cotg u| + c.
10. y = cos u ⇒ y 0 = −u0 sen u. 12. R sec u tg u du = sec u + c.
11. y = tg u ⇒ y 0 = u0 sec2 u. 13. R cosec u cotg u du = −cosec u + c.
12. y = cotg u ⇒ y 0 = −u0 cosec2 u. 14. R sec2 u du = tg u + c.
13. y = sec u ⇒ y 0 = u0 sec u tg u. 15. R cosec2 u du = −cotg u + c.
14. y = cosec u ⇒ y 0 = −u0 cosec u cotg u. 16. u2du = a1 arc tg ua + c.
15. y = arc sen u ⇒ y 0 = √1−u u0
. R du
+a2 ¯ ¯
1 ¯ ¯
2
0 17. u2 −a2 = 2a ln ¯ u−a 2 2
u+a ¯ + c, u > a .
16. y = arc cos u ⇒ y 0 = √−u . ¯ √ ¯
1−u2 R ¯ ¯
u0 18. √udu = ln ¯u + u2 + a2 ¯ + c.
17. y = arc tg u ⇒ y 0 = 1+u 2.
2 +a2
¯ √ ¯
R ¯ ¯
18. y = arc cot g u −u0
⇒ 1+u2 . 19. √udu 2 −a2
= ln ¯u + u2 − a2 ¯ + c.
R
19. y = arc sec u, |u| > 1 20. √adu = arc sen ua + c, u2 < a2 .
2 −u2
0
⇒ y 0 = |u|√uu2 −1 , |u| > 1. R ¯ ¯
21. √ du = 1 arc sec ¯ u ¯ + c.
u u2 −a2 a a
20. y = arc cosec u, |u| > 1
−u0
⇒ y 0 = |u|√ u2 −1
, |u| > 1.
• F´
ormulas de Recorrˆ
encia
R
• Identidades Trigonom´
etricas n−1
1. senn au du = − sen ¡au cos au
an
n−1
¢R
+ n senn−2 au du.
1. sen2 x + cos2 x = 1.
R
2. 1 + tg2 x = sec2 x. 2. cosn au du = sen au cosn−1 au
¡
an ¢R
3. 1 + cotg2 x = cosec2 x. + n−1 cosn−2 au du.
n
4. sen2 x = 1−cos
2
2x
.
2 1+cos 2x R tg n−1 au R
5. cos x = 2 . 3. tg n au du = − tg n−2 au du.
a(n−1)
6. sen 2x = 2 sen x cos x.
R n−1 au R
7. 2 sen x cos y = sen (x − y) + sen (x + y). 4. cotg n au du = − cotg n−2 au du.
a(n−1) − cotg
8. 2 sen x sen y = cos (x − y) − cos (x + y).
R secn−2 au tg au
9. 2 cos x cos y = cos (x¡ − y)¢+ cos (x + y). 5. secn au du = a(n−1)
³ ´R
10. 1 ± sen x = 1 ± cos π2 − x .
+ n−2n−1 secn−2 au du.
R n−2
6. cosecn au du = − cosec a(n−1)
au cotg au
³ ´R
+ n−2n−1 cosecn−2 au du.
