Antilles Guyane 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé

−−→ −−→
1) a) Les points B, E et G ont pour coordonnées respectives (1, 1, 0), (0, 1, 1) et (1, 0, 1). Les vecteurs BE et BG ont
−−→ −−→
pour coordonnées respectives (−1, 0, 1) et (0, −1, 1). On note que les vecteurs BE et BG ne sont pas colinéaires et
−−→ −−→
donc que les points B, E et G définissent un unique plan puis que les vecteurs BE et BG sont deux vecteurs non
colinéaires de ce plan.
−−→
Les points D et F ont pour coordonnées respectives (0, 0, 0) et (1, 1, 1). Le vecteur DF a pour coordonnées (1, 1, 1).
−−→ −−→
DF .BE = 1 × (−1) + 1 × 0 + 1 × 1 = −1 + 1 = 0
et
−−→ −−→
DF .BG = 1 × 0 + 1 × (−1) + 1 × 1 = −1 + 1 = 0.
−−→ −−→
Ainsi, le vecteur DF est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (BGE) et donc le vecteur DF est un
vecteur normal au plan (BGE).
b)
 Les  points A et B ont pour coordonnées respectives (0, 1, 0) et (1, 1, 0). Le point I a donc pour coordonnées
1
, 1, 0 .
2
 
1 −−→
Le plan P est le plan passant par I , 1, 0 et de vecteur normal DF (1, 1, 1). Une équation du plan P est donc
  2
1 3
1× x− + 1 × (y − 1) + 1 × (z − 0) = 0 ou encore x + y + z − = 0.
2 2
3
2) Notons (0, 1, z), z ∈ R, les coordonnées du point N . Le point N est dans le plan P et donc 0 + 1 + z − = 0 et
  2
1 1
donc z = . Ainsi, les coordonnées de N sont 0, 1, .
2 2
Les points A et E ontpour coordonnées
  respectives
 (0, 1, 0) et (0, 1, 1). Le milieu du segment [AE] a pour coordonnées
0+0 1+1 0+1 1
, , ou encore 0, 1, . Ce milieu est effectivement le point N .
2 2 2 2
−−→
3) a) Les points H et B ont pour coordonnées respectives (0, 0, 1) et (1, 1, 0). Le vecteur HB a donc pour coordonnées
(1, 1, −1).
−−→
La droite (HB) est la droite passant par H(0, 0, 1) et de vecteur directeur HB(1, 1, −1). Une représentation paramé-
trique de la droite (HB) est

 x=t
y=t , t ∈ R.
z =1−t


b) Soit U (t, t, 1 − t), t ∈ R, un point de la droite (HB).
3 1
U ∈ P ⇔ t + t + (1 − t) − = 0 ⇔ t = .
2 2
 
1 1 1 1
Pour t = , on obtient le point de coordonnées , , . On a montré que la droite (HB) et le plan P sont sécants
2   2 2 2
1 1 1
en le point T , , .
2 2 2
4) Le volume demandé est
1
aire de(F BG) × F E ×1 1
V = = 2 = .
3 3 6

1
Le volume, exprimé en unités de volume, du tétraèdre F BGE est .
6




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