Dans la
news précédente, nous te publiions le 5ème sujet de maths du BAC S 2012 qui venait de tomber dans les lycées français des Centres Etrangers
(Europe et Afrique).
Et pour la 4ème fois en 5 sujets, tu as eu droit à de l'algorithmique en exercice 2. Comme nous l'avons déjà fait
dans plusieurs news précédentes, voyons un peu ça de plus près:
Cette fois-ci donc, pas question de produire un algorithme. L'algorithme est donné et il s'agit de l'interpréter.
Mais la question nous mâche le travail: l'algorithme calcule la valeur d'un terme de la suite (I
n) définie en introduction à l'aide d'une intégrale.
Comme il n'y a aucune intégrale dans cet algorithme, qu'il y a des
"n+2", et que de plus l'avant dernière affectation ressemble énormément à la formule de récurrence d'ordre 2 donnée au 1)c), on peut penser que l'algorithme effectue le calcul par récurrence.
En initialisation, la variable
"n" est affecté avec la valeur
1, rang initial de la suite (I
n).
La variable
"u" reçoit quant à elle la valeur e/2-1/2, qui est la valeur de I
1 que vous avez normalement trouvée au 1)b).
(et oui - au BAC, les données parachutées en cours d'exercices sont très souvent des réponses des questions précédentes)Les variables
"n" et
"u" sont toujours modifiées ensembles par la boucle
"tant que".
Lorsque l'on sort de la boucle, c'est que la condition n<21 de poursuite du
"tant que" vient de se révéler fausse. La variable
"n" vaut alors
21.
Et il serait logique de supposer sans chercher à comprendre plus en détail l'algorithme que la variable
"u" contient alors la valeur de I
21.
La réponse serait donc 21.
Mais peut-être que cela vous paraît trop simple? Peut-être qu'il y aurait un piège?
Vérifions à la calculatrice. Traduisons cet algorithme en un programme pour TI-73 à TI-84:
L'exécution de ce programme nous donne la valeur du terme de la suite (I
n) calculé.
Mais ne tombons pas dans le piège: ce n'est pas la valeur de ce terme qui nous est demandée mais son rang, et l'algorithme ne répond pas à la question: ce n'est qu'une étape.
Passons donc notre calculatrice TI-73 à TI-84 en mode suite avec la touche
:
Accédons ensuite à l'éditeur de suites avec la touche
pour entrer la suite définie par sa formule générale avec l'intégrale:
Notez qu'ici j'ai du remplacer toutes les variables "X" de la formule par des variables "T". En effet, ma TI-84 munie de l'OS 2.55MP me harcèle obstinément avec des erreurs "Invalide" si j'utilise une seule variable "X" dans une formule de suite, pensant sans doute que je me trompe et confonds avec une saisie de fonction. Si l'intention est louable (empêcher les utilisateurs de se tromper), à partir du moment où cela empêche de saisir des expressions mathématiquement correctes, je considère cela comme un bug.Autre petite remarque. Il n'était pas possible ici directement de définir la suite par récurrence sur TI-73 à TI-84 qui nous auraient là encore invectivés avec des erreurs "Invalide". Il s'agit en effet d'une récurrence d'ordre 2, non supportée par la calculatrice. Il existe toutefois un moyen de passer outre en définissant un système de deux suites récurrentes d'ordre 1. Mais peu importe ici puisque l'on avait la formule générale.Une fois la suite définie, demandons son tableau de valeur avec les touches
et recherchons la valeur renvoyée par le programme ci-dessus:
Et la valeur correspond bien au terme de rang 21 - il n'y avait donc pas de piège.
Autre petite remarque: vous constaterez que la fin de la partie décimale diffère entre le programme et le tableau de valeurs:
La calculatrice ne travaille pas sur l'ensemble des réels mais sur des nombres décimaux de 13 chiffres multipliés par une puissance de 10.
Chaque calcul sur un nombre non décimal est donc l'objet d'une petite erreur d'approximation.
Et bien la différence vient du fait que le programme obtient le résultat par récurrence, c'est-à-dire en effectuant plusieurs calculs, et par conséquent plusieurs approximations qui s' "additionnent".
Le même style de programme est bien évidemment réalisable sur TI-Nspire:
A bientôt! 
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