Programme de récurrence

[NspireCas]

Si ce n'est que ça c'est facile à corriger ; en fait je pensais que l'équivalence marchait à chaque fois ...

Par contre je ne comprends pas pourquoi c'est vrai on veut u(k+1)>3k+1 mais qu'on trouve 3*3^k-2=3^k+1 -2 ; la propriété est fausse car u(k+1) peut-être dans les deux unités en moins que 3^k+1

Je pourrais faire solve(3×3k−2>3*3k,k) ça m'afficherait quand même faux !


Edit : Je viens de comprendre, j'ignorais qu'une propriété non-héréditaire pourrait être vraie ... En tout cas dans tous les exercices et annales que j'ai fait ; si l'hérédité est fausse on ne se pose pas de questions , on dit que c'est faux ...
D'ailleurs je ne comprends toujours pas le raisonnement qu'elle est vraie vu qu'on a vu qu'elle n'était pas héréditaire !

Enfin : Comment faire la différence entre une hérédité pas forcément fausse ( 3^(k+1)-2>3^(k+1) ) et une hérédité fausse ?

[Bisam]

Tu n'as pas prouvé que l'hérédité était fausse !!
Tu as juste remarqué que tu n'arrivais pas à la prouver, ce qui n'est pas du tout la même chose !

Pour montrer qu'elle est fausse, il faudrait trouver (au moins) une valeur de k pour laquelle Hk est vraie mais pas H(k+1)... et ton programme ne fait absolument pas cela.

[NspireCas]

Ok, est-ce que concrètement ils ont demande ça au bac et le demanderont ?
En terminale on s'arrête à l'hérédité, non ?

Donne moi un exemple d'annale que je puisse voir

[Bisam]

L'exemple que je t'ai déjà donné ne te convient pas ?
Ce n'est pas un sujet tiré d'annales, mais cela pourrait !

Si on essaie de démontrer directement que

$mathjax$u(k)>3^k$mathjax$

, on n'y arrive pas, mais si on montre d'abord que

$mathjax$u(k)$mathjax$

est entier, puis que

$mathjax$u(k)\geq 3^k+1$mathjax$

, ça marche comme par magie...

Bref, il n'y a aucune difficulté qui ne serait surmontable par un élève de Terminale, mais la méthode "directe" ne donne pas le résultat voulu.

À mon avis, en pratique, au BAC, on ne te demandera JAMAIS de prouver que

$mathjax$u(k)>3^k$mathjax$

... parce que presque personne ne penserait à prouver que

$mathjax$u(k)\geq 3^k +1$mathjax$

... et donc la question ne servirait à rien.

[NspireCas]

Donc je remplace tous les "propriétés non héréditaire" par "propriété peut être héréditaire, il faudrait la prouver par un autre moyen ..." ?

[Bisam]

Si tu veux.
Mais il y a tellement de cas où tu ne vas pas pouvoir répondre que je pense qu'il est peu utile que tu t'acharnes...

Par exemple, il est très courant de faire montrer par récurrence des propriétés d'arithmétique comme, par exemple : "Montrer que

$mathjax$\forall n\in\mathbb{N}, u_n=3^{3n+2}+2^{n+4}$mathjax$

est divisible par 5" et tu auras beau faire, tu ne pourras pas le démontrer avec la machine (du moins certainement pas comme tu le fais).

[NspireCas]

L'essentiel est que ça soit utile pour le bac, donc je ne fais que les trucs essentiels. Ça prendrait du temps pour gérer toutes les divisibilites...

[Excale]

On est d'accord que, d'un point de vue mathématique, u(k)<u(k+1) => k*u(k)+3<k*u(k+1)+3 si k>0
Or, à la calculatrice, u(k)<u(k+1) => k*u(k)+3<k*u(k+1)+3 and k>0 ne donne ni true ni false :/

La Nspire a raison.
Rien ne dit que u(p) renvoie toujours la même valeur.

Code: Select all

RandSeed 42
rand()+rand()
RandSeed 42
2*rand()

[Excale]

Par exemple, il est très courant de faire montrer par récurrence des propriétés d'arithmétique comme, par exemple : "Montrer que

$mathjax$\forall n\in\mathbb{N}, u_n=3^{3n+2}+2^{n+4}$mathjax$

est divisible par 5" et tu auras beau faire, tu ne pourras pas le démontrer avec la machine (du moins certainement pas comme tu le fais).

C'est pas difficile de faire un programme dans ce cas (je ne saurais dire quelle est sa portée):
-part l'expr selon + (ici

$mathjax$9*27^{n}$mathjax$

et

$mathjax$16*2^{n}$mathjax$

)
-calculer

$mathjax$x=\frac{9*27^{n+1}}{9*27^{n}}$mathjax$

et

$mathjax$y=\frac{16*2^{n+1}}{16*2^{n}}$mathjax$

-for i=0 to 5, check si

$mathjax$x*(i) + y*(5-i)$mathjax$

est divisible par 5

Pour un cas plus général, c'est un très bon exercice.

[NspireCas]

On est d'accord que, d'un point de vue mathématique, u(k)<u(k+1) => k*u(k)+3<k*u(k+1)+3 si k>0
Or, à la calculatrice, u(k)<u(k+1) => k*u(k)+3<k*u(k+1)+3 and k>0 ne donne ni true ni false :/

La Nspire a raison.
Rien ne dit que u(p) renvoie toujours la même valeur.

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RandSeed 42
rand()+rand()
RandSeed 42
2*rand()

T'es pas sérieux ??