solve systeme

[kadtexas]

Bonjour

Il s'agit de la resolution du systeme suivant de deux équations à trois inconnues (intersection d'un plan et d'une sphere qui sont tangents):
solve(3*x+4*z-1=0 and(x-1)²+(y+1)²+(z-2)² =4,{x,y,z})
voici le résultat:x²-2*x+y²+2*y+z*(z-4)=−2 and 3*x+4*z=1

et j'ai le même résultat si je déclare juste {x,y}, z est le parametre

Merci pour vos commentaires

[critor]

Ton résultat, c'est surtout que la calculatrice n'a pas réussi à résoudre.
Ce n'est qu'une réécriture de tes deux équations de départ.

[kadtexas]

Oui j'ai remarqué que la calculette a juste développé les expressions.
Je ne sais pas si je me trompe mais il ne manque pas par hasard des conditions à préciser car à la main on tombe sur des radicaux (il faut que expression>=0)

[Bisam]

En fait, il n'y a pas de méthode générale pour déterminer les intersections d'une quadrique (et en particulier une sphère) et d'un plan.
Par conséquent, il ne me parait pas incongru que la calculette ne trouve pas.

En revanche, si tu sais déjà que la sphère et le plan sont tangents, il est très simple de trouver l'intersection : tu projettes orthogonalement le centre de la sphère sur le plan...

[kadtexas]

Oui la méthode classique consiste à calculer la distance centre sphere_plan
si distance=rayon, un point de tangence
si distance<rayon, un cercle
si distance>rayon, intersection vide
etc...
pour cette methode classique aucun probleme je sais
Mai j'ai voulu traiter analytiquement le probleme, resolution du systeme(equation sphere,equation plan)
mais la calculette(TI nspire cas) n'arrive pas, il lui manque des conditions...
Il faudra que je retouve le message qu'elle affiche par la presence du triangle jaune.
tu peux toujour essayé et tu verras!

[kadtexas]

Voilà, j'ai retrouvé ce que je t'avais dit:
quand le programme exécute: solve(3*x+4*z-1=0 and(x-1)²+(y+1)²+(z-2)² =4,{x,y,z})
voici le résultat:x²-2*x+y²+2*y+z*(z-4)=−2 and 3*x+4*z=1 (juste développé)
et ceci juste lorsqu'il y a un seul point (point de tangence) comme dans notre cas
et avant solve il y a un triangle jaune et quand on clique dessus voici le message:

Essayer de spécifier les bornes inférieure et superieure ou une supposition:
exemple: solve(equation, var=Suppo) limitinf<var<limitsup

j'ai donné l'encadrement de z, x, y et rien à faire!

Lorsque l'intersection est un cercle la calculette donne bien les équations paramétriques du cercle et lorsque l'intersection est vide elle affiche "false"

[Bisam]

Chez moi, avec le système donné, la calculette répond carrément False... et elle a bien évidemment tort puisque la distance du centre

$mathjax$\Omega (1, -1, 2)$mathjax$

de la sphère

$mathjax$S$mathjax$

au plan

$mathjax$P:3x+4z=1$mathjax$

vaut

$mathjax$d(\Omega, P)=\frac{\left|3\times 1+4\times 2-1\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2$mathjax$

et est donc bien égale au rayon de la sphère, ce qui fait que le plan et la sphère sont bel et bien tangents.

Le vecteur

$mathjax$\vec{u}(3,0,4)$mathjax$

est normal au plan

$mathjax$P$mathjax$

donc le projeté

$mathjax$H$mathjax$

de

$mathjax$\Omega$mathjax$

sur le plan

$mathjax$P$mathjax$

est l'un des points

$mathjax$H_1 = \Omega + 2\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$mathjax$

ou

$mathjax$H_2 = \Omega - 2\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$mathjax$

: celui des deux qui appartient au plan

$mathjax$P$mathjax$

, soit

$mathjax$H\left(\frac{-1}{5},-1,\frac{2}{5}\right)$mathjax$

.

Tout cela peut être calculé à la calculette et même être programmé...

[kadtexas]

Tout cela peut être calculé à la calculette et même être programmé...

Je suis tout à fait d'accord avec toi car je l'ai déjà fait comme je l'avais précisé dans mes message!
Donc la calculette ne peut pas traiter le cas de "tangence".

ce cas je l'ai fait à la main en posant z=t et on se ramene à un systeme de deux équations paraméreés par t
On tombe sur des radicaux "indigestes" et l'expression du second degré en t est sous le radical, il faut trouver le signe de cette expression en fonction de t etc...Cela fait beaucoup de calculs!