L'algo mystère

[Marvus]

On se place dans l'espace à dimension trois restreint à l'intervalle

$mathjax$x\in[0,1]$mathjax$

,

$mathjax$y\in[0,1]$mathjax$

,

$mathjax$z\in[0,1]$mathjax$

.
En testant l'inégalité

$mathjax$x^2 + y^2 + z^² \leq 1$mathjax$

on teste si le point de coordonnées (x,y,z) appartient à la sphère d'équation :

$mathjax$x^2+y^2+z^2=1$mathjax$

(rayon 1, centrée en (0,0,0)) ou sphère trigonométrique.

En réitérant l'algorithme la probabilité obtenir va tendre vers la probabilité théorique :

$mathjax$p = \frac{4/3 * \pi}{8} /1= \frac{\pi}{6}$mathjax$

Qui s'obtient tout simplement en faisant le rapport du huitième du volume de la sphère (huitième compris dans l'intervalle d'étude) sur le volume du cube d'étude.

Q.E.D.

Edit : Je viens juste de voir la réponse de mdr1...

[critor]

Et bien félicitations à Marvus et à nikitouzz pour avoir terminé le raisonnement

[matref]

C'est nikitouzz, pas mdr1

[davidElmaleh]

Une autre?

[davidElmaleh]

Je propose une troisième énigme : Voici un algorithme en langage TI-Basic, réalisé sur une TI-Nspire CX CAS:

Code: Select all

Define algomyst()=
Prgm
k:=1
while 1
  x1:=0
  x2:=1/k
  y1:=1/(x1²+1)
  y2:=1/(x2²+1)
  s:=(y1+y2)/k²
  while x2<1
    x1:=x1+1/k
    x2:=x2+1/k
    y1:=1/(x1²+1)
    y2:=1/(x2²+1)
    s:=s+(y1+y2)/k²
  endwhile
  k:=k+1
  disp s
endwhile
endPrgm


Si on laisse l'éternité à ce programme, quel est le nombre en sortie?

EDIT: oubli d'une ligne dans l'algo

[Laurae]

Facile

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k=1

Itération 1 :
x1 = 0
x2 = 1/1 = 1
y1 = 1/(0^2+1) = 1
y2 = 1/(1^2+1) = 0.5
s = (1+0.5)/1^2 = 1.5

Itération 1.1 : 1<1 faux
rien à faire

Itération 2
la même chose puisqu'il y a reset des variables x1 et x2 qui font la dépendance de y1 et y2, et k est statique (1)

Donc s = 1.5

[NspireCas]

s vaut toujours 3/2 ...

[Laurae]

s vaut toujours 3/2 ...

J'avais inversé 2 et 1/2

[davidElmaleh]

Désolé mais il y avait une erreur dans l'algo : voici l'énoncé corrigé :
Je propose une troisième énigme : Voici un algorithme en langage TI-Basic, réalisé sur une TI-Nspire CX CAS:

Code: Select all

Define algomyst()=
Prgm
k:=1
while 1
  x1:=0
  x2:=1/k
  y1:=1/(x1²+1)
  y2:=1/(x2²+1)
  s:=(y1+y2)/k²
  while x2<1
    x1:=x1+1/k
    x2:=x2+1/k
    y1:=1/(x1²+1)
    y2:=1/(x2²+1)
    s:=s+(y1+y2)/k²
  endwhile
  k:=k+1
  disp s
endwhile
endPrgm


Si on laisse l'éternité à ce programme, quel est le nombre en sortie?

[NspireCas]

0 ?