L'algo mystère

[davidElmaleh]

Explique..

[pierrotdu18]

Je suis d'accord avec Nspirecas.

[NspireCas]

"Explique.."

[davidElmaleh]

Il se trouve que j'ai encore une fois fait une erreur dans l'algo.. et j'en suis vraiment désolé.
Voici l'énoncé correct et testé :
Je propose une troisième énigme : Voici un algorithme en langage TI-Basic, réalisé sur une TI-Nspire CX CAS:

Code: Select all

Define algomyst()=
Prgm
k:=1
while 1
  x1:=0
  x2:=1/k
  y1:=1/(x1²+1)
  y2:=1/(x2²+1)
  s:=(y1+y2)/(2*k)
  while x2<1
    x1:=x1+1/k
    x2:=x2+1/k
    y1:=1/(x1²+1)
    y2:=1/(x2²+1)
    s:=s+(y1+y2)/(2*k)
  endwhile
  k:=k+1
endwhile
disp s
endPrgm


Si on laisse l'éternité à ce programme, quel est le nombre en sortie?

[Adriweb]

Quelqu'un peut supprimer les messages intermédiaires si besoin
(y compris ce post ci)

[Laurae]

Facile encore

(y a des erreurs, le résultat ici est faux, à corriger)

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Itération extérieure :
- x1 est toujours statique (0)
- x2 se divise par 1/k, k le nombre d'itérations extérieures
- y1 vaut toujours 1 (1/(0+1) = 1)
- y2 se calcule par (1+1/k)/(2k)

Itération intérieure :
- ne se fait que si x2 < 1
- x1 s'additionne lui même avec 1/k, k le nombre d'itérations extérieures
- x2 s'additionne lui même avec 1/k, k le nombre d'itérations extérieures
- y1 vaut 1/(x1^2+1)
- y2 vaut 1/(x2^2+1)
- s s'additionne lui même avec (y1+y2)/(2k)

Une itération totale d'initialisation donne 1.5.

Une autre itération fait que x2<1 à l'itération interne d'initialisation, or on rajoute des valeurs à x1 et x2 de manière à tendre vers 1 (x2 en priorité car x2>x1), il y a k-1 itérations intérieures car sum(1/k,k,1,(1/k)^-1) = k strict.
Donc ça revient à calculer s = sum((y1+y2)/(2k),k,1,k-1).
x2 tend vers 1 car strictement croissante.
En supposant x2 = 1 (si x2 atteint sa limite), on a y2 = 0.5. Elle est strictement croissante par pas inférieur à 0.5 (k=2 minimum) tel que le pas soit 1/k.
En supposant x1 = 1 (si x1 = x2), on a y1 = 0.5. Elle est strictement croissante par pas inférieur à 0.5 (k=2 minimum) tel que le pas soit 1/k.

D'où les limites par composition :
y2 = 1/2
y1 = 1/2
s = 1/(2k) = 0.5/k = 0

s = 0

[Laurae]

Sinon, y a une erreur car While 1 est impossible ?

[Levak]

Sinon, y a une erreur car While 1 est impossible ?

Ouai, mais on a compris : While 1 = 1

[Samos]

Code: Select all

Define algomyst()=
Prgm
k:=1
while 1
  x1:=0
  x2:=1/k
  y1:=1/(x1²+1)
  y2:=1/(x2²+1)
  s:=(y1+y2)/(2*k)
  while x2<1
    x1:=x1+1/k
    x2:=x2+1/k
    y1:=1/(x1²+1)
    y2:=1/(x2²+1)
    s:=s+(y1+y2)/(2*k)
  endwhile
  k:=k+1
endwhile
disp s
endPrgm


Quand k tend vers l'infini, 1/k tend vers 0
excepté pour l'initialisation, on admet que x1 est à peu près égal à x2.
On admet aussi y1 est à peu près égal à y2.
On pose f(x)=1/(x²+1)
donc y1+y2=2f(x2)
On peut dire que s:=s+2*f(x2)/(2*k)
s:=s+f(x2)/k

on représente s par une somme: s=somme (x2 allant de 0 à 1 avec un pas de 1/k) de f(x2)*1/k
Mais k tend vers l'infini, on pourrait la représenter comme l'intégrale de 0 à 1 de 1/(x2²+1) en fonction de x2
s=F(1)-F(0)
(désolé,) j'ai demandé à Xcas d'intégrer et j'ai obtenu que F(x)=tan-1(x)
tan-1(1)=pi/4 et tan-1(0)=0 donc s tend vers pi/4-0 soit pi/4.

Désolé pour la rigueur et pour le mal aux yeux x)

J'ose proposer une énigme dont le résultat n'est pas dur à interpréter mais j'espère que la justification vous donnera du mal

Code: Select all

:Prompt X
:.5X->X
:Disp 1/sin(tan-1(1/(x*sin(cos-1(1-1/x

J'espère ne pas avoir fait d'erreurs (on peut aussi enlever le Disp sur les z80)

EDIT: ça ne fonctionne que pour X>1

[Bisam]

Là, c'est des maths... mais en premier lieu, le calcul n'est défini que si le X de départ (celui du Prompt) est supérieur ou égal à 1.
Ensuite, on a les infos suivantes :

$mathjax$\sin(\cos^{-1}(y))=\sqrt{1-y^2}$mathjax$

donc

$mathjax$\displaystyle{x\times\sin(\cos^{-1}(1-\frac{1}{x}))=x\times\sqrt{1-(1-\frac{1}{x})^2}=x\times\sqrt{\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}=\sqrt{2x-1}}$mathjax$

Par ailleurs :

$mathjax$\displaystyle{\sin(\tan^{-1}(y))=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}}$mathjax$

donc

$mathjax$\displaystyle{\frac{1}{\sin(\tan^{-1}(\frac{1}{y}))}=\sqrt{y^2+1}}$mathjax$

On en déduit que le résultat final est la racine carrée du nombre entré... mais seulement si ce nombre est supérieur ou égal à 1.