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Je lance un nouveau type de mini-jeu.


On se donne l'implémentation suivante d'un algorithme sur TI-76/82/83/84:


Question: en supposant que ce programme dispose de toute l'éternité devant lui, que calcule-t-il ?

Je suppose que "rand" renvoie une valeur au hasard entre 0 et 1...

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cos(pi/4) ?

En théorie, 'rand' suit une loi continue uniforme sur ]0;1[.

La variable A accumule ici la somme de tous les 'rand' tirés.
N étant un compteur, X=A/N en est donc la moyenne.

Il reste enfin à se demander quelle est l'espérance de 'rand' et à conclure quand N tend vers l'infini.


Tu confirmes ta réponse ?

1/sqrt(2) car lim(rand()/n,n,1,infinite) = 0.5 car on sait que rand() est une loi continue uniforme f sur ]0;1[ et donc f(n,m,s)=(1/(s*sqrt(2pi)))*e^(((-x-m))^2)/(2s^2)) et sa moyenne est définie par m, or par distribution symétrique elle est définie par la moyenne de ses deux bornes 0 et 1 d'où :

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m = 0.5, donc 0.5^0.5 = 1/sqrt(2) d'où le cos(pi/4) de Bisam

Belle justification, Laurae
Nous passons donc à la 2ème énigme.

Donne-lui l'éternité, et l'algorithme ici traduit en un programme TI-76/82/83/84 te calculera Pi:


Pourquoi ?

La variable E est un compteur qui n'enregistre que les cas où A²+B²+C²<=1. Tandis que N compte tous les cas. Ainsi, E/N est la probabilité que A²+B²+C²<=1 sachant que 0<A,B,C<1 et suivent une loi continue uniforme sur cet intervalle. Cette probabilité est de E/N = pi/6. D'où 6E/N = pi.

Pas mal du tout !

A un petit détail près: pourquoi est-ce que E/N tend vers Pi/6 ?

C'est ca le problème Comme je sais que 6*E/N = pi, j'en ai déduit que E/N = pi/6. Je pense qu'il y a une petite loi normale avec une intégrale quelque part. Mais je n'ai pas encore appris la loi normale Donc je ne peux pas vraiment répondre en détail. Mais je vais chercher.

C'est quand même remarquablement bien raisonné - bien joué.

Petit indice: le code du programme n'utilise pas la constante Pi connue de la calculatrice...

Ben... a*a+b*b+c*c<=1 peut etre aussi ecris sous la forme sqrt(a*a+b*b+c*c)<=1... or cette formule calcule la distance entre le point (0,0,0) et (a,b,c)...donc si la distance est plus petite que 1 comprise donc dans la "boule trigonometrique" on ajoute 1 a E... donc ca calcul par lissage d'un nombre pi...

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ca c'est de l'explications lol !