Quotients de racines et bugs du CAS 3.2
Posted: 16 Dec 2012, 00:05Texas Instruments fait régulièrement évoluer le moteur de calcul formel CAS de ses calculatrices TI-Nspire, afin de toujours offrir le meilleur à ses utilisateurs.
Par exemple, usuellement quand on a des quotients avec des racines au dénominateur, on transforme cette expression en faisant disparaître ces dernières.
Selon le cas, ce sont des méthodes différentes qui doivent être utilisées (multiplication par la racine, par le conjugué...).
Un cas notamment n'était pas géré par la version 3.1 et l'est désormais par la version 3.2, c'est quand le dénominateur est de la forme √(a±√(b)), avec a et b entiers.
Tout a l'air super n'est-ce pas? Le CAS 3.2 se débrouille beaucoup mieux avec cette expression et nous donne une forme bien plus sympathique!
Sauf que je viens de découvrir un problème... Creusons un peu la chose:
Non? Rien vu?
Sous la grande racine carrée apparaît un coefficient a²-b qui vaut ici successivement 2, 98, puis 20. Ces deux dernières valeurs auraient du vous choquer... En effet, elles sont simplifiables:
En conséquence, le CAS 3.2 ne termine pas la simplification des expressions dans le cas où a²-b est un multiple de carré parfait.
"Et alors", diront sûrement certains d'entre vous? "Où vais-je trouver des racines de racines?"
Il n'y a justement pas besoin de chercher bien loin - un tout petit peu de trigonométrie et on y arrive très vite:
Et de là aux quotients il n'y a qu'un pas, puisqu'il suffit de sortir une tangente...
Intéressons-nous donc au problème. Que se passe-t-il si on redonne d'une façon ou d'une autre le résultat non simplifié à la calculatrice?
Visiblement, la calculatrice termine son travail et achève la simplification.
Ce serait sans doute super pour détailler les calculs étape par étape, bien que ça n'ait probablement jamais été prévu pour ça...
Avec la version 3.2 du CAS, on peut donc désormais avoir le même résultat exprimé à des degrés de simplification divers, et ce serait génial si ça ne causait pas problème...
Comme la simplification bloque sur certaines formes, si ces formes sont utilisées au sein d'un calcul, toutes les simplifications qui en découlent sont également bloquées!
Regardez - prenons une forme qui cause problème, et mémorisons la successivement sous deux variables a et b - ce qui nous permet de la stocker à des niveaux de simplification divers.
Vous conviendrez que c'est donc la même valeur qui est stockée sous a et b. Et que donc a-b=0... Et bien regardez:
Le CAS 3.2 nous renvoie une expression monstrueuse, qui effectivement fait bien zéro - mais ce n'est sans doute pas évident au premier coup d'oeil pour tout-le-monde.
Une telle chose recopiée sur une copie vous vaudra sans doute l'incompréhension totale du correcteur et une belle pénalité à la question.
Et vous voulez rire jaune encore un peu plus ?
En conséquence, que faire?...
Et bien si vous choisissez de continuer à utiliser l'OS 3.2, retapez systématiquement tous les résultats compliqués fournis par la calculatrice afin de voir si elle va plus loin dans les simplifications...
Mais vous avez aussi encore la possibilité de retourner à l'OS 3.1...
Par exemple, usuellement quand on a des quotients avec des racines au dénominateur, on transforme cette expression en faisant disparaître ces dernières.
Selon le cas, ce sont des méthodes différentes qui doivent être utilisées (multiplication par la racine, par le conjugué...).
Un cas notamment n'était pas géré par la version 3.1 et l'est désormais par la version 3.2, c'est quand le dénominateur est de la forme √(a±√(b)), avec a et b entiers.
Tout a l'air super n'est-ce pas? Le CAS 3.2 se débrouille beaucoup mieux avec cette expression et nous donne une forme bien plus sympathique!
Sauf que je viens de découvrir un problème... Creusons un peu la chose:
Non? Rien vu?
Sous la grande racine carrée apparaît un coefficient a²-b qui vaut ici successivement 2, 98, puis 20. Ces deux dernières valeurs auraient du vous choquer... En effet, elles sont simplifiables:
En conséquence, le CAS 3.2 ne termine pas la simplification des expressions dans le cas où a²-b est un multiple de carré parfait.
"Et alors", diront sûrement certains d'entre vous? "Où vais-je trouver des racines de racines?"
Il n'y a justement pas besoin de chercher bien loin - un tout petit peu de trigonométrie et on y arrive très vite:
Et de là aux quotients il n'y a qu'un pas, puisqu'il suffit de sortir une tangente...
Intéressons-nous donc au problème. Que se passe-t-il si on redonne d'une façon ou d'une autre le résultat non simplifié à la calculatrice?
Visiblement, la calculatrice termine son travail et achève la simplification.
Ce serait sans doute super pour détailler les calculs étape par étape, bien que ça n'ait probablement jamais été prévu pour ça...
Avec la version 3.2 du CAS, on peut donc désormais avoir le même résultat exprimé à des degrés de simplification divers, et ce serait génial si ça ne causait pas problème...
Comme la simplification bloque sur certaines formes, si ces formes sont utilisées au sein d'un calcul, toutes les simplifications qui en découlent sont également bloquées!
Regardez - prenons une forme qui cause problème, et mémorisons la successivement sous deux variables a et b - ce qui nous permet de la stocker à des niveaux de simplification divers.
Vous conviendrez que c'est donc la même valeur qui est stockée sous a et b. Et que donc a-b=0... Et bien regardez:
Le CAS 3.2 nous renvoie une expression monstrueuse, qui effectivement fait bien zéro - mais ce n'est sans doute pas évident au premier coup d'oeil pour tout-le-monde.
Une telle chose recopiée sur une copie vous vaudra sans doute l'incompréhension totale du correcteur et une belle pénalité à la question.
Et vous voulez rire jaune encore un peu plus ?
En conséquence, que faire?...
Et bien si vous choisissez de continuer à utiliser l'OS 3.2, retapez systématiquement tous les résultats compliqués fournis par la calculatrice afin de voir si elle va plus loin dans les simplifications...
Mais vous avez aussi encore la possibilité de retourner à l'OS 3.1...
Texas Instruments regularly updates the CAS engine (symbolic calculation engine) of its TI-Nspire calculators in order to offer the best to its customers.
For instance, usually when you have quotients with roots in the denominator, the expression is transformed in order to remove them.
Depending on the case, these are different methods that should be used (multiplication by the root, the conjugate...)
A particular case was not handled by the version 3.1 and is now in version 3.2, this is when the denominator is of the form √ (a ± √ (b)) , with a and b being integers.
Everything looks great, doesn't it? The 3.2 CAS is doing much better with this far more friendly expression !
Except that I just discovered a problem ... Let's dig down a little further :
No ? You didn't notice anything ?
Beneath the large square root is a coefficient a ²-b which is successively equal to 2, 98 and 20. These last two values should have shocked you ... In fact, it can be simplified :
So, the CAS 3.2 does not complete the simplification of such expressions when a²-b is a multiple of a perfect square.
"So what" you'll probably ask ? "Where am I going to find roots of roots anyway ?"
There is no need to look very far : just some trigonometry and you get some very quickly :
And getting quotients now is just a step away, since you just need a tangent for example...
So let's take a look at the problem. What happens if we give the non-simplified expression to the TI-Nspire ?
Apparently, the calculator completes the simplification.
It would probably be great for detailing the calculations step by step, although it has probably never been planned for that ...
With CAS version 3.2, we can now have the same result expressed at various degrees of simplification, and it would be great if it did not cause any further issue...
As simplification blocks on certain forms, if these forms are used in a calculation, all resulting simplifications are also blocked !
Look - take a form that is causing the problem, and successively memorize it into two variables a and b - which allows us to store it at various levels of simplification.
You agree that this is the same value that is stored in a and b. And then a-b = 0 ... Well, look:
`
Want to laugh (sadly...) even more ?
The 3.2 CAS gets us a quite huge expression, which actually equals zero as well - but it's probably not obvious at first glance for everybody.
Such a thing copied on a paper would probably create misunderstanding for the teacher/corrector and you'd probably get some points off...
Therefore, what can you do ... ?
Well, if you choose to continue using the OS 3.2, always retype (select it and enter) all 'complicated' results provided by the calculator to see if it gives further simplifications ...
But you're also still able to go back to OS 3.1 ...
For instance, usually when you have quotients with roots in the denominator, the expression is transformed in order to remove them.
Depending on the case, these are different methods that should be used (multiplication by the root, the conjugate...)
A particular case was not handled by the version 3.1 and is now in version 3.2, this is when the denominator is of the form √ (a ± √ (b)) , with a and b being integers.
Everything looks great, doesn't it? The 3.2 CAS is doing much better with this far more friendly expression !
Except that I just discovered a problem ... Let's dig down a little further :
No ? You didn't notice anything ?
Beneath the large square root is a coefficient a ²-b which is successively equal to 2, 98 and 20. These last two values should have shocked you ... In fact, it can be simplified :
So, the CAS 3.2 does not complete the simplification of such expressions when a²-b is a multiple of a perfect square.
"So what" you'll probably ask ? "Where am I going to find roots of roots anyway ?"
There is no need to look very far : just some trigonometry and you get some very quickly :
And getting quotients now is just a step away, since you just need a tangent for example...
So let's take a look at the problem. What happens if we give the non-simplified expression to the TI-Nspire ?
Apparently, the calculator completes the simplification.
It would probably be great for detailing the calculations step by step, although it has probably never been planned for that ...
With CAS version 3.2, we can now have the same result expressed at various degrees of simplification, and it would be great if it did not cause any further issue...
As simplification blocks on certain forms, if these forms are used in a calculation, all resulting simplifications are also blocked !
Look - take a form that is causing the problem, and successively memorize it into two variables a and b - which allows us to store it at various levels of simplification.
You agree that this is the same value that is stored in a and b. And then a-b = 0 ... Well, look:
Want to laugh (sadly...) even more ?
The 3.2 CAS gets us a quite huge expression, which actually equals zero as well - but it's probably not obvious at first glance for everybody.
Such a thing copied on a paper would probably create misunderstanding for the teacher/corrector and you'd probably get some points off...
Therefore, what can you do ... ?
Well, if you choose to continue using the OS 3.2, always retype (select it and enter) all 'complicated' results provided by the calculator to see if it gives further simplifications ...
But you're also still able to go back to OS 3.1 ...
