Interpolation de Lagrange

→ **MyCalcs** profile · by **pierrotdu18** » 20 Jan 2014, 18:22

Et sinon, voilà l'énoncé de la 5e question :

$$ $\\ {\text{Soit }}n \in \mathbb{N*} \hfill \\ {\text{Soient }}{\left( {{a_i}} \right)_{i \in \left[\kern-0.15em\left[ {0;n} \right]\kern-0.15em\right]}}{\text{ tels que : }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{a_n} \ne 0{\text{ et }}{a_0} \ne 0} \\ {{\text{pour }}i \in \left[\kern-0.15em\left[ {0;n} \right]\kern-0.15em\right],\;{a_i} \in \mathbb{Z}} \end{array}} \right. \hfill \\ {\text{On consid\`ere le polyn\^ome }}P(x) = \sum\limits_{k = 0}^n {{a_k}{x^k}} \hfill \\ {\text{Soient }}p;q \in \mathbb{Z*}{\text{ tels que }}\gcd \left( {p;q} \right) = 1 \hfill \\ \hfill \\ {\text{Montrer : }}\frac{p}{q}{\text{ racine de }}P(x) \Rightarrow p|{a_0}{\text{ et }}q|{a_n}$

Pour l'instant j'ai fait ça :

$$ $\\ 0 = P(x) \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {{a_k}{{\left( {\dfrac{p}{q}} \right)}^k}} \right)} \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{{\left( {\dfrac{p}{q}} \right)}^k}} \right)} + {a_0} + {a_n}{\left( {\frac{p}{q}} \right)^n} \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{{\left( {\dfrac{p}{q}} \right)}^k}} \right)} + {a_0} + {a_n}{\left( {\frac{p}{q}} \right)^n} \hfill \\ 0 = {q^n}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{p^k}{q^{ - k}}} \right)} + {a_0}{q^n} + {a_n}{p^n} \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{p^k}{q^{n - k}}} \right)} + {a_0}{q^n} + {a_n}{p^n} \hfill \\$

Mais je suis un peu coincé et je ne sais plus vraiment quoi faire...

→ **MyCalcs** profile · by **Hayleia** » 20 Jan 2014, 18:24

Comment ça "tu" as fait ça ?

Là, si je ne m'abuse, c'est le moment où tu "fais passer" le a₀qⁿ de l'autre côté

→ **MyCalcs** profile · by **pierrotdu18** » 20 Jan 2014, 18:27

Bisam wrote:Pour la première question, il faut bien avoir compris que tu peux voir le polynôme comme une fonction. Quand on écrit Pj(aj)=1, on calcule la valeur de cette fonction en x=aj... et on obtient une équation (avec plein de coefficients, mais qui est en fait du 1er degré en C) qui permet immédiatement de trouver C.

Ensuite, pour la 2ème question, pour chaque valeur de j, il y a bien "un" polynôme.

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Bon en fait, comme il n'y a pas d'exigence sur le degré, on peut en trouver une infinité, mais n'insistons pas...

Mais puisqu'il y a plusieurs valeurs de j, tu as bien plusieurs polynômes à ta disposition.
Le but est de trouver comment les utiliser judicieusement pour répondre à la question... et comme tu ne disposes pas de l'algèbre linéaire tu n'as pas d'autre choix que de tâtonner et de trouver le résultat au feeling.

Ok donc en fait c'est juste une équation simple, je vais le faire

Et pour le coefficient dominant?.....

Mais une fois que j'aurai mon polynôme P(x) tel que P(ai)=bi, je pourrai démontrer que ça marche quand même non?

(en fait je l'ai déjà le polynôme, mais je comprends pas pourquoi il marche

)

→ **MyCalcs** profile · by **pierrotdu18** » 20 Jan 2014, 18:29

Hayleia wrote:Comment ça "tu" as fait ça ?
Là, si je ne m'abuse, c'est le moment où tu "fais passer" le a₀qⁿ de l'autre côté

Avec ton aide oui

Mais après je l'ai repris à tête reposée, sans regarder ce que tu m'as dit et je suis ré-arrivé jusque là

D'ailleurs toi au lieu de faire sigma de k=1 jusqu'à n-1, je crois que tu as fait un truc super pas joli en changeant les exposant dans le sigma

→ **MyCalcs** profile · by **Hayleia** » 20 Jan 2014, 18:31

Oui, j'avais fait une petite translation à cet endroit ou à un autre pour qu'on voie mieux les factorisations possibles.

→ **MyCalcs** profile · by **pierrotdu18** » 20 Jan 2014, 18:35

Mais quand on en arrive à là :
$$ $\\ 0 = P(x) \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {{a_k}{{\left( {\dfrac{p}{q}} \right)}^k}} \right)} \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{{\left( {\dfrac{p}{q}} \right)}^k}} \right)} + {a_0} + {a_n}{\left( {\frac{p}{q}} \right)^n} \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{{\left( {\dfrac{p}{q}} \right)}^k}} \right)} + {a_0} + {a_n}{\left( {\frac{p}{q}} \right)^n} \hfill \\ 0 = {q^n}\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{p^k}{q^{ - k}}} \right)} + {a_0}{q^n} + {a_n}{p^n} \hfill \\ 0 = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{p^k}{q^{n - k}}} \right)} + {a_0}{q^n} + {a_n}{p^n} \hfill \\ - {a_0}{q^n} = \sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {\left( {{a_k}{p^k}{q^{n - k}}} \right)} + {a_n}{p^n}$

Du coup on fait quoi? ...

→ **MyCalcs** profile · by **Bisam** » 20 Jan 2014, 18:37

Comme on ne peut pas se fier à ta classe pour connaître ton niveau réel, c'est difficile de te répondre...
Connais-tu les congruences ? Le lemme de Gauss ?

→ **MyCalcs** profile · by **pierrotdu18** » 20 Jan 2014, 18:40

Bisasam wrote:Comme on ne peut pas se fier à ta classe pour connaître ton niveau réel, c'est difficile de te répondre...
Connais-tu les congruences ? Le lemme de Gauss ?

Congruence je sais ce que c'est mais on a pas vu en classe, et Gauss je ne connais que pour les matrices...

→ **MyCalcs** profile · by **pierrotdu18** » 20 Jan 2014, 18:43

Mais mon prof a dit :

Prof de maths exubérant wrote:Là, voilà, il ne te manque plus que deux lignes.

...

→ **MyCalcs** profile · by **Bisam** » 20 Jan 2014, 18:44

Tu connais le pivot de Gauss... mais ça n'a rien à voir avec le lemme de Gauss.

Bref, c'est de l'arithmétique élémentaire.

Ici, ton membre de droite peut se factoriser par p... et donc celui de gauche devrait aussi se factoriser par p.
Mas comme p et q sont premiers entre eux, c'est forcément parce que p divise a0 (d'après le lemme de Gauss).

Effectivement, ça fait 2 lignes !