Équation différentielle très spéciale

[Bisam]

J'ai un truc plutôt bon, mais c'est pas encore tout-à-fait ça :

$mathjax$f(x)=\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x-2)^2}\times \dfrac{x3^x-3}{3^x+1}$mathjax$

La fonction s'annule en -2, en 1 et en 3, comme voulu, elle a toutes les asymptotes voulues, les variations sont quasi parfaites... mais le point d'inflexion et la tangente horizontale ne sont pas au bon endroit et la courbe est au-dessus de l'asymptote oblique...

C'est tout de même un bon début !

[Bisam]

On peut moduler quelques paramètres en modifiant légèrement en

$mathjax$f(x)=\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x-2)^2}\times \dfrac{x3^{3x-2}+a3^{x}(x-1)-3}{3^{3x}+b3^{2x}+c3^{x}+1}$mathjax$

, ce qui permet d'obtenir les conditions manquantes

$mathjax$f(-1)=1, f'(-1)=0, f''(-2)=0$mathjax$

... mais en faisant cela, on perd les belles variations... et on n'a toujours pas la courbe en-dessous de son asymptote oblique (et accessoirement, la Nspire en perd son latin et tourne sans jamais afficher quoi que ce soit !)

[pierrotdu18]

C'est quand même déjà pas mal...
Mais comment avez-vous fait pour trouver ces fonctions ? Il y a une technique particulière ?
Ça pourrait déjà m'orienter pour la recherche...

[Excale]

Un peu triché, mais:

Code: Select all

((4*(x-2)^(2)*(x^(2)+3*x+1)*(abs(x+1)-x-1)*abs(x+2)-((x^(2)+6*x-7)*abs(x-2)-(x-2)*(4*x^(4)+12*x^(3)-11*x^(2)-42*x-23))*abs(x+1)+(x+1)*((7*x^(2)-22*x-1)*abs(x-2)-(x-2)*(4*x^(4)+12*x^(3)-21*x^(2)-38*x-1)))/(16*(x-2)^(2)*(x+1)))-((3*(abs(x+2)-x-2)*arctan(((x+2)/(2))))/(π*(x+2)))

Edit: zut, j'ai oublié un détail.
Edit²:corrigé.
Edit3:En fait, avec cette méthode, le arctan est superflu. On peut faire juste avec des fractions rationnelles je pense.

[pierrotdu18]

OMG
Tu peux fournir deux trois explications ?.

[Excale]

C'est une bête fonction définie par morceaux*. Et pour que ça colle, j'ai fait des gros solves() avec les points intéressants.

La triche, c'est qu'elle n'est pas définie en certains points (là où je change de morceau justement...).

*en définissant Fa qui vaut 0 pour x<a, 1 pour x>a et... rien pour x=a.

J'ai un moyen de la rendre continue, mais ça consiste à faire des micro-modifications pour coller à ce que tu veux, et ça risque des rajouter des points d'inflexion non voulus.

[pierrotdu18]

Mais c'était quoi comme solve() ?
Et comment tu t'es débrouillé pour la définir par morceaux alors qu'il n'y a pas de if ?

[Excale]

Je te laisse résoudre ce problème.

[Bisam]

Tu aurais pu faire l'effort de "LateXifier" le résultat...
Le voici, une fois "simplifié" :

$mathjax$\begin{equation}
\begin{split}
f(x) = \dfrac{1}{16} \left[ ( x^2+3x+1) \left(\dfrac{|x+1|}{x+1}-1\right) |x+2| \\
- \left( (x^2+6x-7) \dfrac{|x-2|}{(x-2)^2} - \dfrac{1}{x-2} (4x^4+12x^3-11x^2-42x-23) \right) \frac{|x+1|}{x+1} \\
+ \left( (7x^2-22x-1) \dfrac{|x-2|}{(x-2)^2} - \dfrac{1}{x-2} (4x^4+12x^3-21x^2-38x-1) \right)\right] \\
- \dfrac{1}{\pi} \left(3\dfrac{|x+2|}{x+2}-1\right) \arctan \left( \frac{x+2}{2} \right)
\end{split}
\end{equation}$mathjax$

J'espère ne pas avoir fait d'erreurs en simplifiant puis en mettant en LateX...

[pierrotdu18]

J'en suis à :

$mathjax${\frac{-48 \; \operatorname{arctan} \left( \frac{1}{2} \; \left(x + 2 \right) \right) \; x^{2} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) + 48 \; \operatorname{arctan} \left( \frac{1}{2} \; \left(x + 2 \right) \right) \; x^{2} + 192 \; \operatorname{arctan} \left( \frac{1}{2} \; \left(x + 2 \right) \right) \; x \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - 192 \; \operatorname{arctan} \left( \frac{1}{2} \; \left(x + 2 \right) \right) \; x - 192 \; \operatorname{arctan} \left( \frac{1}{2} \; \left(x + 2 \right) \right) \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) + 192 \; \operatorname{arctan} \left( \frac{1}{2} \; \left(x + 2 \right) \right) + 4 \; \pi \; x^{5} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) + 4 \; \pi \; x^{5} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) - 4 \; \pi \; x^{5} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - 4 \; \pi \; x^{5} + 4 \; \pi \; x^{4} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) + 4 \; \pi \; x^{4} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) - 4 \; \pi \; x^{4} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - 4 \; \pi \; x^{4} - 36 \; \pi \; x^{3} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - 35 \; \pi \; x^{3} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) + 36 \; \pi \; x^{3} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) + 45 \; \pi \; x^{3} - 24 \; \pi \; x^{2} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - \pi \; x^{2} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \left|x - 2\right| - 20 \; \pi \; x^{2} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) + 24 \; \pi \; x^{2} \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) + 7 \; \pi \; x^{2} \; \left|x - 2\right| - 4 \; \pi \; x^{2} + 80 \; \pi \; x \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - 6 \; \pi \; x \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \left|x - 2\right| + 61 \; \pi \; x \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) - 80 \; \pi \; x \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - 22 \; \pi \; x \; \left|x - 2\right| - 91 \; \pi \; x + 32 \; \pi \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) + 7 \; \pi \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) \; \left|x - 2\right| + 46 \; \pi \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 10 \right) - 32 \; \pi \; \operatorname{th} \left( 10 \; x + 20 \right) - 17 \; \pi \; \left|x - 2\right| + 30 \; \pi}{16 \; \left(x - 2 \right)^{2} \; \pi}}$mathjax$

Qui donne :