by (ne pas mettre l'image Mirari d'IRC)
Existence d'une statistique minimale : On considère un modèle statistique (X, (P_X,theta), theta appartient à O) dominé par L, de densité P_X,theta(dx) = p(x,theta)L(dx) strictement positive partout (c'est-à-dire p(x,theta)>0 pour tout x appartenant à X et theta à O). Soit T : X -> Y une statistique vérifiant pour tout x, x' de X l'équivalence : T(x)=T(x') <=> (p(x,theta))/(p(x',theta)) est indépendant de theta. Alors T est exhaustive minimale.
Comment démontrer cela ?
Pour moi le début (sans que j'ai la fin), c'est : on admet que T : X -> Y donc on peut trouver une section mesurable S application mesurable S : Y -> X qui vérifie T(S(y)) = y pour tout y appartenant à Y. Donc le point S(y) est un choix mesurable d'un point de la fibre (T(x) = y), donc on peut introduire q(y,theta)=p(S(y),theta) et p'(x)=(p(x,theta))/(p(S,T(x)),theta). Alors p'(x) est indépendant de theta par l'hypothèse ci-dessus, donc T vérifie le critère de factorisation p(x,theta) = q(T(x),theta)p'(x) et est exhaustive.
Mais après que faire ?
(edit minuit : j'ai reçu la correction de la démonstration lol - si vous voulez voir je peux le poster)
