Aide pour mon dm sur les dérivation

[RufioHD]

Bonjours, voilà j'ai un gros problème sur mon dm de math sur les dérivation.

Je suis en 1ère S et je bloque sur cet exo.

On considère trois fonctions f,y et z définies sur I telle que pour tout x il appartient à I, f(x)=y(x)+z(x), soit a appartient à I

Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. On justifiera à l'aide d'une démonstration ou d'un contre exemple :

1-Si les fonctions y et z sont dérivable en a, alors f est dérivable en a
2-Si f est dérivable en a, alors y et z sont dérivables en a


Voilà je bloque sur ça, je vous serai très reconnaissant si vous me donniez quelques pistes car je ne sais pas par où commencer

Merci d'avance pour votre réponse

[critor]

Ok. Tes deux propositions sont des implications.

On justifie qu'une implication est vraie à l'aide d'une démonstration.
On justifie qu'une implication est fausse en exhibant un simple exemple illustrant qu'elle ne marche pas toujours, et que l'on appelle contre-exemple.

Donc pour chaque proposition, penses-tu qu'elle soit vraie ou fausse?

[RufioHD]

Je pense que les deux proposition sont vraie

[Lionel Debroux]

Une des façons de démontrer ça un peu proprement serait de revenir à la définition de la dérivabilité, avec la limite du taux de variation... mais on me dit que ce genre de choses n'est plus au programme de première S.

I est vraisemblablement un sous-ensemble de l'ensemble C des complexes (lui-même un sous-ensemble strict d'un ensemble plus vaste), sur lequel "on sait que" l'addition usuelle f(x,y):=x+y n'ajoute pas d'indétermination, ne change pas la dérivabilité, ne restreint pas le domaine de définition, etc. Donc:
* si y et z sont dérivables en un point a, alors leur somme f est dérivable, puisque l'addition ne change pas la dérivabilité;
* si f est dérivable, ça veut dire que tous ses constituants sont dérivables. Comme on sait que l'addition ne change pas la dérivabilité, ça veut dire que les deux autres constituants de f, c'est à dire y et z, sont dérivables.

[critor]

Si, ils ont la limite du taux de variation, mais sans avoir défini ce qu'était une limite
Il faut juste leur 'montrer' en bougeant un point sur une courbe...

[Laurae]

Une des façons de démontrer ça un peu proprement serait de revenir à la définition de la dérivabilité, avec la limite du taux de variation... mais on me dit que ce genre de choses n'est plus au programme de première S.

En plus rapide, il suffirait de passer par les combinaisons linéaires, ce qui résoudrait le problème immédiatement.

[critor]

Déjà, mais c'est dur de s'en rendre compte sans avoir de background sur la notion, la proposition n°2 est fausse et seule la n°1 est donc à démontrer.

Proposition 2 en français: si une fonction somme est dérivable, alors les deux fonctions termes sont forcément dérivables.
Comme on n'étudie 'quasiment' plus que des fonctions dérivables et continues au lycée, ça va être dur pour le contre-exemple...

Indice: cherche un truc avec une fonction valeur absolue ou racine carrée (non dérivables en zéro, bien que définies et continues).

[RufioHD]

Merci du fond du cœur pour votre aide. Je pense avoir trouver le parfait contre exemple : f(x)=Racine carré de x

Je vais enfin pouvoir finir mon dm et grâce à au programme Etude de dérivée trouver sur ti planet et à leurs membres

[critor]

Oui, mais ta fonction racine (f) sera donc la somme de quelles fonctions?

[RufioHD]

La aucune idée, mais vu que f est dérivable en 1 mais pas en 0 je crois que sa suffit pour justifié non ??