Problème de matrices

[Persalteas]

Bonjour, je bloque dans un exo sur les Matrices...

Je sais que:

• [A]=[[a,1-a][1-a,a]]
• [P]=[[1,1][1,-1]] et son inverse [P]^-1 = 1/2 . [P]
• [D]=[[1,0][0,2a-1]]
• [D]=[P]^-1.[A]*[P]
• [A]=[P].[D].[P]^-1
• [A]^n = [P].[D]^n.[P]^-1
• [D]^n = [P]^-1.[A]^n.[P]

Je dois montrer que pour tout entier naturel n;
[A]^n = 1/2 . [[ 1+(2a-1)^n , 1-(2a-1)^n ][ 1-(2a-1)^n , 1+(2a-1)^n ]]

Et je ne vois pas du tout comment faire.
Merci de m'aider si vous êtes balèzes en matrices


Persalteas

[Hayleia]

Bête récurrence ?

Pour n=0, on a bien [A]^n=Id et [[ 1+(2a-1)^n , 1-(2a-1)^n ][ 1-(2a-1)^n , 1+(2a-1)^n ]]=Id
Ensuite on suppose [A]^n = 1/2 . [[ 1+(2a-1)^n , 1-(2a-1)^n ][ 1-(2a-1)^n , 1+(2a-1)^n ]] et on montre que ça marche au rang n+1. Et puisque A^(n+1)=(A^n)A et qu'on connaît A^n et A, il suffit de faire le calcul, que je viens de faire sur une feuille et qui donne le résultat voulu (sachant que a(1+(2a-1)^n)+(1-a)(1-(2a-1)^n)=1+(2a-1)^(n+1) avec un peu d'huile de coude, et que les autres calculs sont du même genre).

[Persalteas]

hum oui, sauf qu'en fait j'ai fait une récurrence à la question d'avant (c'était demandé pour prouver [A]^n = [P].[D]^n.[P]^-1 ), et que la question c'est "En déduire que [A]^n = 1/2 . [[ 1+(2a-1)^n , 1-(2a-1)^n ][ 1-(2a-1)^n , 1+(2a-1)^n ]]"...

DOnc la récurrence marche, merci , mais y'a pas un autre moyen par le calcul ?

[Hayleia]

Effectivement, la réponse était encore plus simple avec ce résultat. D^n c'est tout simplement [[1,0][0,(2a-1)^n]] pour tout n, et il suffit alors de multiplier par P et P^-1 à gauche et à droite. Même pas besoin de récurrence.

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[Persalteas]

C'était ça qui me manquait

Merci beaucoup !