Interpolation de Lagrange

[pierrotdu18]

Bonjour!

Premièrement je tiens à préciser que je suis en Première S, donc pas si vous voulez m'aider, allez y doucement quand même

Voilà, dans mon DM de maths que j'ai eu il y a une semaine, la question 4 est la suivante :



J'ai fait beaucoup de recherches, j'ai d'ailleurs trouvé, mais je ne comprends pas très bien et j'aimerais que quelqu'un m'explique le premier paragraphe de ce site qui semble donner la réponse, que je devrai d'ailleurs démontrer, et ne pas balancer comme ça, sans expliquer
= > http://perso.univ-rennes1.fr/marie-pier ... lation.pdf

Merci beaucoup à ceux qui m'aideront!

[pierrotdu18]

Bon, en fait, j'ai compris pour quoi on avait à faire à quelque chose de la forme
"Produit de i=0 à n avec i≠j de C(X-xi) " avec C une constante...

Par contre je ne comprends pas comment on peut trouver C...
Merci à vous

[Hayleia]

Le "C fois Produit de j=0 à n avec i≠j de (X-xi)" avec C une constante répond à "pour tout i différent de j, Pj(ai)=0". Et il te reste encore l'hypothèse Pj(aj)=1 pour trouver C.
Note que j'ai factorisé "la" constante C. Le produit de N constantes C_i est une constante aussi, et c'est ce produit que j'ai appelé C.

[Bisam]

C'est un peu costaud pour des 1ère S, non ?
Même mes élèves de sup ont parfois du mal à répondre à ces deux questions...

D'ailleurs, il y a une erreur dans l'énoncé : ce devrait être "i différent de j" et non "i différent de 1" dans la question 1.

En plus, même si l'implication "si P(a)=0 alors P se factorise par (X-a)" est encore au programme de 1ère S, rien ne leur permet d'affirmer que "si a1,...,an sont différents et si P(a1)=...=P(an)=0 alors P se factorise par (X-a1)...(X-an)".
Ca ne les choquera pas, mais bien peu d'entre eux seront capables d'imaginer cela.
Ce n'est pas indispensable pour répondre aux questions posées (puisqu'on les pose de telle sorte que seul le sens trivial soit à vérifier) mais ça l'est pour TROUVER la réponse.

Enfin, rien n'est précisé sur les degrés des polynômes, ce qui laisse un peu trop de libertés, à mon sens.

Bref, c'est une idée qui me semble saugrenue.

[critor]

Et non la factorisation d'un polynome de degré supérieur à 2 à partir de la connaissance d'une de ses racines n'est plus au programme.

C'est un peu haut oui - mais si pierrotdu18 est dans un lycée dans le style de certains lycées privés des centres étrangers, pourquoi pas



Pas bien difficile de trouver les réponses, mais les justifier de façon correcte tout en précisant les corrections et modifications apportées à l'énoncé sera tout un art.

[pierrotdu18]

C'est un peu costaud pour des 1ère S, non ?
Même mes élèves de sup ont parfois du mal à répondre à ces deux questions...

D'ailleurs, il y a une erreur dans l'énoncé : ce devrait être "i différent de j" et non "i différent de 1" dans la question 1.

En plus, même si l'implication "si P(a)=0 alors P se factorise par (X-a)" est encore au programme de 1ère S, rien ne leur permet d'affirmer que "si a1,...,an sont différents et si P(a1)=...=P(an)=0 alors P se factorise par (X-a1)...(X-an)".
Ca ne les choquera pas, mais bien peu d'entre eux seront capables d'imaginer cela.
Ce n'est pas indispensable pour répondre aux questions posées (puisqu'on les pose de telle sorte que seul le sens trivial soit à vérifier) mais ça l'est pour TROUVER la réponse.

Enfin, rien n'est précisé sur les degrés des polynômes, ce qui laisse un peu trop de libertés, à mon sens.

Bref, c'est une idée qui me semble saugrenue.

Oui, c'est un peu costaud, mais disons que mon prof adore les maths et est ravi de pouvoir apprendre le maximum de choses à ses élèves qui aiment le plus les maths (en fait il y a 3 DM possibles, et là cette question appartient au 3e).

Oui, en effet, on sait que si a racine de P(x) alors P(x)=(x-a)Q(x), mais on a prouvé que les racines de Q(x) sont aussi ds racines de P(x), et on a appris à trouver Q(x) avec hörner par exemple (j'ai publié un programme qui fait le tableau). Bref ne nous égarons pas, je suis d'accord, c'est compliqué, mais j'adore ça et mon prof le sait, alors il veut me monter à un bon niveau pour une éventuelle prépa

Aussi, oui, en effet que j'ai recopié le sujet sur LaTeX, je me suis trompé, c'est bien i≠j et non i≠1

Voilà, sinon, Haileya, comment je pourrais utiliser l'hypothèse Pj(aj)=1 ? En faisant une équation pour trouver C ?

[pierrotdu18]

Et non la factorisation d'un polynome de degré supérieur à 2 à partir de la connaissance d'une de ses racines n'est plus au programme.

C'est un peu haut oui - mais si pierrotdu18 est dans un lycée dans le style de certains lycées privés des centres étrangers, pourquoi pas



Pas bien difficile de trouver les réponses, mais les justifier de façon correcte tout en précisant les corrections et modifications apportées à l'énoncé sera tout un art.

Si si c'est encore au programme, que ce soit avec la méthode d'Hörner, l'identification ou la division euclidienne

Et non je ne suis pas dans un lycée particulier, j'ai juste un prof spécial Et ça me va très bien

[Bisam]

Je ne disais pas cela pour te décourager !

Bref, pour en revenir à ton exercice, une fois que tu as remarqué que ton polynôme Pj pouvait se factoriser par le produit des (X-ai) pour i différent de j allant de 0 à n, il suffit de déterminer son coefficient dominant avec la relation Pj(aj)=1.
La constante C s'exprimera elle aussi comme un produit (ou plutôt l'inverse d'un produit) et on pourra un peu factoriser le résultat.

Pour la 2ème question, puisque tu ne peux pas faire autrement :

Fie-toi à ton intuition !

[pierrotdu18]

Je ne disais pas cela pour te décourager !

Bref, pour en revenir à ton exercice, une fois que tu as remarqué que ton polynôme Pj pouvait se factoriser par le produit des (X-ai) pour i différent de j allant de 0 à n, il suffit de déterminer son coefficient dominant avec la relation Pj(aj)=1.
La constante C s'exprimera elle aussi comme un produit (ou plutôt l'inverse d'un produit) et on pourra un peu factoriser le résultat.

Pour la 2ème question, puisque tu ne peux pas faire autrement :

Fie-toi à ton intuition !

Ok... En fait je sais très bien ce que c'est que cette constante C, mais c'est juste que je me demandais comment la trouver...
Et le coefficient dominant, je vais essayer En fait soit t le coefficient dominant, le dominateur sera t(x-ai)..(x-a(j-1))(a-a(j+1))...(x-an) ?

Et pareil, pour la deuxième question, je connais la réponse mais je veux pouvoir l'expliquer... En fait ce qui me parait un peu spécial, c'est que dans la première question il demande de trouver seulement "un" polynôme qui satisfait les conditions, alors que dans la deuxième, c'est les n polynômes qui vont être mis en jeu dans le sigma...

[Bisam]

Pour la première question, il faut bien avoir compris que tu peux voir le polynôme comme une fonction. Quand on écrit Pj(aj)=1, on calcule la valeur de cette fonction en x=aj... et on obtient une équation (avec plein de coefficients, mais qui est en fait du 1er degré en C) qui permet immédiatement de trouver C.

Ensuite, pour la 2ème question, pour chaque valeur de j, il y a bien "un" polynôme.

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Bon en fait, comme il n'y a pas d'exigence sur le degré, on peut en trouver une infinité, mais n'insistons pas...

Mais puisqu'il y a plusieurs valeurs de j, tu as bien plusieurs polynômes à ta disposition.
Le but est de trouver comment les utiliser judicieusement pour répondre à la question... et comme tu ne disposes pas de l'algèbre linéaire tu n'as pas d'autre choix que de tâtonner et de trouver le résultat au feeling.