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Question A-1-a

• $mathjax$f_1(0)=4\times 0^3-6\times 0^2+3\times 0=4\times 0-6\times 0+0=0+0=0$mathjax$
• $mathjax$f_1(1)=4\times 1^3-6\times 1^2+3\times 1=4\times 1-6\times 1+3=4-6+3=1$mathjax$
• f est une fonction polynomiale de degré 3 et donc continue sur [0;1].
• f est une fonction polynomiale de degré 3 et donc dérivable sur [0;1].
  
  $mathjax$f'_1(x)=4\times 3 x^2-6\times 2x+3=12x^2-12x+3=3(4x^2-4x+1)=3\left((2x)^2-2\times 2x+1\right)=3(2x-1)^2$mathjax$
  
  donc
  $mathjax$\forall x\in [0;1], f'_1(x)\geq0$mathjax$
  et donc f₁ est croissante sur [0;1].

Donc f₁ est une fonction de retouche.

Question A-1-b

Graphiquement, pour .

• Pour
  $mathjax$x\in [0,5;1]$mathjax$
  , il s'agit d'un éclaircissement.
• Et pour
  $mathjax$x\in [0;0,5]$mathjax$
  , il s'agit donc d'un assombrissement.

Question A-2-a



Question A-2-b
car et donc
car et

g admet donc un maximum en valant environ 0,12 d'après la calculatrice.

Question A-2-c
g est continue comme différence et composée de fonctions continues et strictement croissante sur et réalise donc une bijection vers .
Or,
Donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique réel tel que .

De même, g est continue comme différence et composée de fonctions continues et strictement décroissante sur et réalise donc une bijection vers .
Or,
Donc, d'après le théorème de la valeur intermédiaire, il existe un unique réel tel que .

Donc admet deux solutions et sur .

Question B-1
L'algorithme s'articule autour d'une boucle pour faisant varier l'entier k de 0 à 100, et donc le réel x de 0 à 1 par pas de 0,01 (0 0,01 0,02 ... 0,99 1).
Le variable c étant incrémentée de 1 sous un certaine condition, il s'agit donc d'un compteur.
L'algorithme compte donc le nombre de valeurs de x testées vérifiant , condition de perception de la retouche de pixels.
L'algorithme compte donc le nombre de pixels dont la retouche sera perceptible pour l'observateur.

Question B-2
Si l'on a répondu aux questions précédentes et qu'on en voit le lien, la réponse n'est pas bien difficile.
A défaut, on peut tenter une programmation sur calculatrice graphique, mais précisons que ce sera assez ardu ici.
L'algorithme compte donc le nombre de valeurs de x testées vérifiant , c'est-à-dire .
D'après A-2-b et A-2-c, c'est le cas pour .
Or, et .
Les valeurs de x testées incrémentant le compteur seront donc 0,09 0,10 0,11 ... 0,84 0,85.
Elles sont au nombre de qui sera notre réponse.

Bonjour,
Est-il correct de dire que l'algorithme affiche l'amplitude de l'intervalle [α;β] avec un pas de 0,01 pour la question 2 partie B de cet exercice ?

Je ne trouve pas la formulation correcte.

Mais tu sais, pour un demi-point, nombre de choses passent à la correction, surtout à côté des nombreuses non-réponses ou réponses fausses.

Oui mais ce n'est pas ce qui m'importe.
Comme on ne connaît pas les valeurs exactes de aplha et beta et que l'on a qu'un simple encadrement j'ai trouvé ça plus rigoureux de dire que la valeur affichée correspondait à l'amplitude de l'intervalle [alpha;beta] puisque c'est ce que calcule l'algorithme dans le cas de f2(x) en gros, et c'est d'ailleurs ce que vous avez fait dans la correction. Peut-être que c'est le "pas de 0,01" qui vous dérange dans la formulation ? De toutes manières le résultat sera toujours arrondi au centième (c'est ce que je voulais dire par "pas de 0,01").

Les termes 'amplitude' et "pas de 0,01" me semblent contradictoires, oui.

J'associe 'amplitude' à une mesure de distance, de taille, relevant donc d'une grandeur continue.
Ici, il s'agit de compter et donc d'une grandeur discrète.

D'accord, et si on répond seulement : L'algorithme affiche l'amplitude de l'intervalle [alpha;beta] arrondi au centième ça convient ?

Ok merci pour la précision. J'imagine que la notion d'amplitude évolue dans les années à venir !

Robolo wrote:D'accord, et si on répond seulement : L'algorithme affiche l'amplitude de l'intervalle [alpha;beta] arrondi au centième ça convient ?

Le résultat étant 77, cela ne peut convenir.

Alpha est compris entre 0,08 et 0,09, de même pour Beta qui est compris entre 0,85 et 0,86, si on prend alpha = 0,09 et beta = 0,85, il est possible que la valeur réelle soit supérieure à 0,77 puisque alpha et beta peuvent être respectivement inférieur à 0,09 et supérieur à 0,85, non ?

Je pense avoir compris : comme le pas est de 0,01 les valeurs de alpha et beta seront de toutes manière arrondies au centième et comme les 2 valeurs dont on est sûrs qu'elles appartiennent à [alpha,beta] sont 0,09 et 0,85, ce sont celles que l'on choisit pour en faire la différence... c'est bien ça ?

Une formulation qui est très proche de l'algorithme pourrait être : "Le nombre d'entiers k tels que x=k/100 est compris entre alpha et beta", tout simplement, non ?

Quant à la question de Robolo... c'est tout bonnement incompréhensible. Entre 0,08 et 0,86, les deux bornes étant exclues, il y a très exactement 77 valeurs de k telles que k/100 soit entre ces 2 bornes, la plus petite étant k=9 et la plus grande k=85.
Comme alpha est strictement plus petit que 0,9 et beta strictement plus grand que 0,85, il faut bien compter toutes ces valeurs.

Sans autre hypothèse, l'amplitude de l'intervalle [alpha;bêta] est strictement comprise entre 0,76 et 0,78 oui.