Je comprends que tu cherches la facilité... mais là, toutes tes formules me font l'effet de quelqu'un qui apprendrait les "3 lois d'Ohm" : U=RI, I=U/R et R=U/I !
On peut regrouper tes formules en un seul cas que tu adaptes en fonction de la situation en utilisant des intégrales doubles.
Il n'y a aucun besoin de connaître quoi que ce soit sur la théorie des intégrales doubles pour les manipuler, ne t'inquiète pas !
Tout ce qu'il te faut savoir, c'est que dans les cas que tu vas rencontrer, tu peux permuter l'ordre des intégrations comme ça t'arrange.
Ici, on aura par exemple : la surface
$mathjax$S=\iint_D dx dy$mathjax$
où l'indice D désigne le domaine sur lequel tu calcules ton intégrale.
Si tu calcules la surface en faisant des tranches horizontales, cela signifie que tu intègres d'abord horizontalement, donc suivant les "x" et donc ton intégrale la plus "à l'intérieur" sera celle par rapport à x.
Ainsi, si on prend tes cas c) et d), on obtient bien :
$mathjax$S=\iint_D dx dy = \int_{y=a}^b \left(\int_{x=x_b}^{x_h}dx \right) dy=\int_a^b (x_h-x_b) dy$mathjax$
. Je te laisse retrouver seul les cas a) et b) en intégrant d'abord sur "y".
Pour le moment d'inertie, c'est la même chose, mais la formule de départ change :
$mathjax$I_{\Delta}=\iint_D d(M,\Delta)^2 dx dy$mathjax$
D représente toujours le domaine d'intégration,
$mathjax$\Delta$mathjax$
représente l'axe de rotation et
$mathjax$d(M,\Delta)$mathjax$
la distance entre le point
$mathjax$M(x,y)$mathjax$
, variant dans le domaine D, et l'axe
$mathjax$\Delta$mathjax$
.
Par exemple, dans ton cas d), tu intègres d'abord horizontalement et l'axe est l'axe vertical
$mathjax$(Oy)$mathjax$
. Par conséquent, la formule devient :
$mathjax$I_{\Delta}=\iint_D d(M,\Delta)^2 dx dy=\int_{y=a}^{b} \left(\int_{x=x_b}^{x_h} x^2 dx \right) dy=\int_a^b \left[\frac{x^3}{3}\right]_{x_b}^{x_h} dy=\frac{1}{3}\int_a^b (x_h^3-x_b^3)dy$mathjax$
... ce qui n'est pas la formule que tu as donnée.
Je te laisse adapter les autre formules... mais encore une fois si l'explication ne te convient pas... reviens à la charge et je me ferai une joie de tenter de t'expliquer différemment.
Posted: 25 Jun 2014, 09:31