Problème avec une intégrale

[davidElmaleh]

Bonjour,
Voila, j'ai un problème, je n'arrive pas à calculer l'intégrale de 0 à ln(2+racine(3)) de 1/ch(t) dt.
La méthode du changement de variable u = exp(t) donne un résultat avec arctan(2+racine(3)), que je ne suis pas sensé connaitre.
Aussi, je sais que ch(ln(2+racine(3))) = 2 = ch(ln(2-racine(3))) et, ln(2+racine(3)) + ln(2-racine(3)) = 0.
Merci d'avance

[Adriweb]

Je ne m'en rappelle plus très bien, mais est-ce que les règles de Bioche t'aideraient ?
Bon après, si tu ne les as pas vues...

PS, voila ce que dit Mathematica :
(2eme etape (avec le sech) inutile, vu la 3eme... )

[Bisam]

Euh... on peut aussi faire ainsi :

$mathjax$\int_0^{\ln(2+\sqrt{3})} \frac{dt}{ch(t)}=\int_0^{\ln(2+\sqrt{3})}\frac{2e^t}{1+(e^t)^2}dt=\left[2\arctan(e^t)\right]_0^{\ln(2+\sqrt{3})}=2(\arctan(2+\sqrt{3})-\arctan(1))=2\left(\frac{5\pi}{12}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{3}$mathjax$

[davidElmaleh]

Bisam :

La méthode du changement de variable u = exp(t) donne un résultat avec arctan(2+racine(3)), que je ne suis pas sensé connaitre.

Il faut donc une méthode qui n'exploite pas arctan(2+racine(3))

EDIT: Mais la réponse d'Adriweb me satisfait

[Bisam]

Désolé, je n'avais pas tout lu... mais on peut trouver la valeur de

$mathjax$\arctan(2+\sqrt{3})$mathjax$

ainsi :

$mathjax$\displaystyle{\tan\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{1-\tan\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}=\frac{\dfrac{1}{\sqrt{3}}+1}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\times 1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{3-1}=2+\sqrt{3}}$mathjax$

Or

$mathjax$\dfrac{5\pi}{12}\in\left]-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right[$mathjax$

donc

$mathjax$\arctan(2+\sqrt{3})=\dfrac{5\pi}{12}$mathjax$

.