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Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 06 Dec 2014, 19:18
by pierrotdu18
Bonjour !

J'ai déjà proposé ce problème sur le tchat quelques fois et je le mets en topic pour que tout le monde puisse y réfléchir... :)
C'est mon prof de maths qui me l'a énoncé en m'assurant qu'on pouvait le démontrer... :

Montrer que l'on peut diviser n'importe quelle courbe fermée simple (la surface connexe finie qu'elle forme) en quatre surfaces de même aire, et ce en seulement deux coups.
En d'autres termes, montrer que l'on peut découper n'importe quel gâteau en quatre parts égales en deux coups de couteau seulement.

J'ai déjà eu pas mal d'idées, mais elles étaient fausses (:p), là j'ai d'autres pistes de recherche mais si vous avez des idées, n'hésitez pas à les proposer ! :)

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 06 Dec 2014, 19:32
by technolapin
J'ai un idée, tu trouve une droite coupant en deux la surface, puis tu trouve le point le plus au centre de la figure et tu trouve le coeff de la droite. En effet, si tu fait varier le coeff de cette droite, l'aire des surfaces va varier aussi. (mais bon après ça marche pas forcément, j'en sais rien)

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 06 Dec 2014, 19:37
by pierrotdu18
Le point le plus au centre

Quoi comme centre ? Rien que dans un triangle, il y a plus de 4 centres...

En gros tu veux faire une rotation de la première droite autour de ce "centre" et regarder comme les surfaces évoluent ?
J'avais essayé de faire la même chose en prenant comme centre l'intersection entre deux coupes en 2 perpendiculaires, et ça n'avait pas marché en tout cas.

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 06 Dec 2014, 19:42
by technolapin
Quoi comme centre ? Rien que dans un triangle, il y a plus de 4 centres...

Ah bon? :p
En gros tu veux faire une rotation de la première droite autour de ce "centre" et regarder comme les surfaces évoluent ?
J'avais essayé de faire la même chose en prenant comme centre l'intersection entre deux coupes en 2 perpendiculaires

Qué? :|

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 06 Dec 2014, 19:46
by pierrotdu18
technolapin wrote:
Quoi comme centre ? Rien que dans un triangle, il y a plus de 4 centres...

Ah bon? :p

Orthocentre, centre de gravité, centre du cercle inscrit, centre du cercle circonscrit, centre du cercle des neuf points...
Enfin bon j'imagine que le plus intéressant serait le centre de gravité.
technolapin wrote:En gros tu veux faire une rotation de la première droite autour de ce "centre" et regarder comme les surfaces évoluent ?
J'avais essayé de faire la même chose en prenant comme centre l'intersection entre deux coupes en 2 perpendiculaires

Qué? :|

Qu'est ce que tu n'as pas compris ?

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 06 Dec 2014, 20:10
by technolapin
l'intersection entre deux coupes en 2 perpendiculaires

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 06 Dec 2014, 20:29
by pierrotdu18
On prend une coupe qui partage en 2, et une autre, mais qui est perpendiculaire à la première...
Et ensuite du coup, on prend le point d'intersection, et on fait des rotations autour...

Le truc, c'est que ça marche pas.

D'ailleurs, les "coupes" ne sont absolument pas concourantes

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 07 Dec 2014, 01:46
by Bisam
Je suppose que l'on admet les propriétés suivantes :
1) Ton connexe C est borné (sinon, c'est très vite pénible !)
2) Toute intersection de ton connexe C et d'un demi-plan est mesurable (je ne suis pas sûr que ce soit toujours vrai)
3) L'application f de l'ensemble des droites orientées du plan vers R qui à toute droite associe la différence des aires de l'intersection de ton connexe C avec chacun des demi-plans situés à droite et à gauche de la droite est une fonction continue (dans l'hypothèse où 2) est vrai, je pense que c'est vrai... mais je préfère l'admettre)

Ceci étant fixé, on choisit une direction au hasard et on considère toutes les droites ayant cette direction. On choisit alors un repère ayant comme premier axe cette direction et on associe à chaque réel a de l'autre axe la valeur g(a) de f(D_a) où D_a est la droite ayant pour équation y=a dans ce repère. Ainsi g est une fonction continue de R dans R.
Puisque C est borné, il existe un a1 tel que C est entièrement au-dessus de la droite D_a1 et de même il existe un a2 tel qu'il est entièrement en-dessous de D_a2.
Par conséquent, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à g, g s'annule quelque part en un point a0 (compris entre a1 et a2) et on a donc coupé en 2 parts égales.

En fait, on a même montré que pour toute direction choisie, il existe au moins un point tel que la droite passant par ce point et ayant cette direction coupe ton ensemble en 2 parties égales.

En prenant une deuxième direction perpendiculaire, on peut même trouver un point par lequel passent 2 droites perpendiculaires coupant en 4 morceaux numérotés de 1 à 4 dans le sens horaire et tels que l'aire des morceaux 1+2 soit égale à celle de 3+4 et celle de 1+4 soit égale à celle de 2+3. Ainsi les aires 1 et 3 sont égales et les 2 et 4 le sont aussi.

On fixe alors un repère quelconque et on considère pour tout angle t la différence h(t) entre les aires 1 et 2 (en déplaçant à chaque fois le point d'intersection pour que les aires 1 et 3 d'une part et 2 et 4 d'autre part restent égales).
Les valeurs h(0) et h(pi) sont alors opposées donc, puisque h est également continue, il existe un angle t0 pour lequel h(t0)=0 et du coup, c'est gagné, on a coupé en 4 parts égales en 2 coups de couteau... et en plus, on l'a fait avec des coups de couteau orthogonaux !

C'est en fait une application du célèbre "théorème du sandwich au jambon" (non, non, ce n'est même pas une blague !)...

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 07 Dec 2014, 02:04
by Hayleia
Bisam wrote:C'est en fait une application du célèbre "théorème du sandwich au jambon" (non, non, ce n'est même pas une blague !)...

Ceux qui se demandaient ce que mangeaient les mathématiciens le savent désormais, mais se demandent à présent ce qu'ils fument :P
Le plus effrayant étant de se demander s'ils ont trouvé un problème abstrait et lui ont donné un nom concret ou s'ils se sont posé la question sur un sandwich au jambon et ont étendu leurs recherches sur les cas abstraits...

Re: Comment découper mon gâteau ?

Unread postPosted: 07 Dec 2014, 13:52
by pierrotdu18
Bisam wrote:Je suppose que l'on admet les propriétés suivantes :
1) Ton connexe C est borné (sinon, c'est très vite pénible !)

Oui ok ^^
Bisam wrote:2) Toute intersection de ton connexe C et d'un demi-plan est mesurable (je ne suis pas sûr que ce soit toujours vrai)

J'ai du mal à imaginer un cas où ça ne serait pas vrai... Enfin, dans le cas d'une surface "simple"
Bisam wrote:3) L'application f de l'ensemble des droites orientées du plan vers R qui à toute droite associe la différence des aires de l'intersection de ton connexe C avec chacun des demi-plans situés à droite et à gauche de la droite est une fonction continue (dans l'hypothèse où 2) est vrai, je pense que c'est vrai... mais je préfère l'admettre)

Oui en effet, je l'avais déjà supposé dans mes recherches de toute façon ^^
Je pense qu'on peut même supposer qu'elle est strictement monotone, grâce à la connexité (enfin... monotone plutôt, on peut imaginer des cas où l'aire n'évoluerait pas sur un certain intervalle).
Bisam wrote:Ceci étant fixé, on choisit une direction au hasard et on considère toutes les droites ayant cette direction. On choisit alors un repère ayant comme premier axe cette direction et on associe à chaque réel a de l'autre axe la valeur g(a) de f(D_a) où D_a est la droite ayant pour équation y=a dans ce repère. Ainsi g est une fonction continue de R dans R.
Puisque C est borné, il existe un a1 tel que C est entièrement au-dessus de la droite D_a1 et de même il existe un a2 tel qu'il est entièrement en-dessous de D_a2.
Par conséquent, d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à g, g s'annule quelque part en un point a0 (compris entre a1 et a2) et on a donc coupé en 2 parts égales.

En fait, on a même montré que pour toute direction choisie, il existe au moins un point tel que la droite passant par ce point et ayant cette direction coupe ton ensemble en 2 parties égales.

Oui, ça j'avais réussi à le montrer, j'avais même montré qu'il n'y avait qu'un unique point en supposant la stricte monotonie de g... (dans le cas où la surface est toujours "consistante", je ne sais pas comment le modéliser mathématiquement).
Bisam wrote:En prenant une deuxième direction perpendiculaire, on peut même trouver un point par lequel passent 2 droites perpendiculaires coupant en 4 morceaux numérotés de 1 à 4 dans le sens horaire et tels que l'aire des morceaux 1+2 soit égale à celle de 3+4 et celle de 1+4 soit égale à celle de 2+3. Ainsi les aires 1 et 3 sont égales et les 2 et 4 le sont aussi.

Ça aussi j'avais fait.
Bisam wrote:On fixe alors un repère quelconque et on considère pour tout angle t la différence h(t) entre les aires 1 et 2 (en déplaçant à chaque fois le point d'intersection pour que les aires 1 et 3 d'une part et 2 et 4 d'autre part restent égales).
Les valeurs h(0) et h(pi) sont alors opposées donc, puisque h est également continue, il existe un angle t0 pour lequel h(t0)=0 et du coup, c'est gagné, on a coupé en 4 parts égales en 2 coups de couteau... et en plus, on l'a fait avec des coups de couteau orthogonaux !

Aaaah j'y étais presque !!...
J'avais pensé à faire ça, seulement, je ne savais pas qu'il était possible de modifier l'angle t tout en modifiant l'intersection pour que a1=a3 et a2=a4...
Enfin... en fait ce n'est pas très clair dans ma tête, l'angle t représente quoi ? On fait bouger quoi en faisant varier t ?
Bisam wrote:C'est en fait une application du célèbre "théorème du sandwich au jambon" (non, non, ce n'est même pas une blague !)...

Lol :P

En tout cas merci beaucoup pour ton aide ! Seulement, je rage car j'étais à deux, voire même un doigt de trouver la solution :p